Taniguchi's Constant

Author

Eric W. Weisstein
December 9, 2014

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Value

Times

Times@@(1`20-(3/((#)^3))+(2/((#)^4))+(1/((#)^5))-(1/((#)^6))&[Prime[Range[(10^6)]]])//Timing

Times@@(1`20-(3/((#)^3))+(2/((#)^4))+(1/((#)^5))-(1/((#)^6))&[Prime[Range[(10^7)]]])//Timing

Times Another way

prod=N[1,25];
(Monitor[Do[prod*=With[{p=Prime[k]},1-1/p^6+1/p^5+2/p^4-3/p^3],{k,10^6}],{k,prod}];prod)//Timing

Series

Series[Log[1-1/p^6+1/p^5+2/p^4-3/p^3],{p,∞,10}]

SeriesCoefficient[Log[1-1/p^6+1/p^5+2/p^4-3/p^3],{p,∞,n}]

c[n_]:=(1/n)(-1-(((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1])^(1+n)) (-4+3 Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]+4 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1])^2)+5 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1])^3)))/((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5]))+(((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2])^(1+n)) (-4+3 Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]+4 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2])^2)+5 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2])^3)))/((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5]))+(((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3])^(1+n)) (-4+3 Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]+4 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3])^2)+5 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3])^3)))/((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]) (-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]+Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5]))+(((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4])^(1+n)) (-4+3 Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]+4 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4])^2)+5 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4])^3)))/((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]) (-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]+Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]) (-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]+Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]) (Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5]))+(((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5])^(1+n)) (-4+3 Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5]+4 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5])^2)+5 ((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5])^3)))/((Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,1]-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5]) (-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,2]+Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5]) (-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,3]+Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5]) (-Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,4]+Root[1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)+((#1)^5)&,5])))

FullSimplify[c[n],n>0]//Timing

Table[c[n],{n,15}]//FullSimplify

Block[{$MaxExtraPrecision=1000},Accumulate[Table[c[n]PrimeZetaP[n]//N[#,50]&,{n,3,20}]]]//Chop

Exp[Last[%]]

GeneratingFunction[Log[1-1/p^6+1/p^5+2/p^4-3/p^3],n,p]

Series[Log[1-(1/(p^6))+(1/(p^5))+(2/(p^4))-(3/(p^3))],{p,∞,5}]

GeneratingFunction[Log[1-p^6+p^5+2p^4-3p^3],n,p]

Series[Log[1-3 (p^3)+2 (p^4)+(p^5)-(p^6)],{p,0,10}]

SeriesCoefficient[Log[1-3 (p^3)+2 (p^4)+(p^5)-(p^6)],{p,0,n}]

Double sum

Q=-(-1/p^6+1/p^5+2/p^4-3/p^3);

Transform logs using the Mercator series

Log[T]==Sum[Log[1-Q[k]],{k,∞}]==Sum[Sum[-(1/n)((Q[k])^n),{n,∞}],{k,∞}]

Exp[-Sum[(1/n)((((1/((Prime[k])^6))-(1/((Prime[k])^5))-(2/((Prime[k])^4))+(3/((Prime[k])^3))))^n),{n,10},{k,1000}]]//N

Sum[(1/n)((((1/((Prime[k])^6))-(1/((Prime[k])^5))-(2/((Prime[k])^4))+(3/((Prime[k])^3))))^n),{k,∞}]

-Sum[(1/n)((((1/((Prime[k])^6))-(1/((Prime[k])^5))-(2/((Prime[k])^4))+(3/((Prime[k])^3))))^n),{n,∞},{k,∞}]//Timing

-Sum[(1/n)((((1/((Prime[k])^6))-(1/((Prime[k])^5))-(2/((Prime[k])^4))+(3/((Prime[k])^3))))^n),{k,∞},{n,∞}]//Timing

PrimeZetaP from sum

Q=-(-1/p^6+1/p^5+2/p^4-3/p^3);

sum=Table[-Total[MapIndexed[# PrimeZetaP[1+#2[[1]]]&,Drop[CoefficientList[Q^n,1/p],2]]]/n,{n,4}];

Total[Expand[Take[sum,2]]]

Total[Expand[Take[sum,3]]]

Total[Expand[Take[sum,4]]]

N[%]

Exp[%]

sum=-Table[Total[MapIndexed[# PrimeZetaP[1+#2[[1]]]&,Drop[CoefficientList[Q^n,1/p],2]]]/n,{n,20}];

N[%]

Exp[Total[N[sum,20]]]

PrimeZetaP from Series

Series[Log[1-1/p^6+1/p^5+2/p^4-3/p^3],{p,∞,20}]

%[[3]]

CoefficientList[%%,1/p]

Through[{Numerator,Denominator}[%]]

ser=Series[Log[1-1/p^6+1/p^5+2/p^4-3/p^3],{p,∞,2010}][[3]];

Block[{$MaxExtraPrecision=1000},
sums=Exp[Accumulate[N[Table[ser[[k]] PrimeZetaP[k+2],{k,2000}],300]]]
];//Timing

ListPlot[sums,PlotRange->(0.678234+#&/@((10^(-6)){-1,1}))]

ListPlot[Log10[Abs[Last[sums]-sums]]]

N[Last[sums],-Log10[Abs[sums[[-1]]-sums[[-2]]]]-2]

-Log10[Abs[sums[[-1]]-sums[[-2]]]]-2