Appell Hypergeometric Function

Author

Eric W. Weisstein
January 20, 2007

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/SpecialFunctions/AppellHypergeometricFunction.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/AppellHypergeometricFunction.html.

©2007 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Additional Authors

(Subscript[F, 2]), (Subscript[F, 3]), and (Subscript[F, 4])code by Paul Abbott
January, 2007

Special Cases

(Subscript[F, 1])(a;b1,b2;c;x,0) reduces to(Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])(a,b;c;z)whenx=0ory=0.

AppellF1[a,b1,b2,c,0,y]

AppellF1[a,b1,b2,c,x,0]

(Subscript[F, 1])

Sum

Sum[((Pochhammer[α,m+n]Pochhammer[β,m]Pochhammer[β2,n])/(Pochhammer[γ,m+n]m!n!))(x^m)(y^n),{m,0,∞},{n,0,∞}]

{Sum[((Pochhammer[α,m+n]Pochhammer[β,m]Pochhammer[β2,n])/(Pochhammer[γ,m+n]m!n!))(x^m)(y^n),{m,0,100},{n,0,100}],AppellF1[α,β,β2,γ,x,y]}/.{α->RandomComplex[],β->RandomComplex[],β2->RandomComplex[],γ->RandomComplex[],x->RandomComplex[],y->RandomComplex[]}

Integrals for (Subscript[F, 1])

(∫_0^1)(u^(a-1)) (((1-u))^(-a+c-1)) (((1-u x))^(-b1)) (((1-u y))^(-b2))du==((Γ(a) Γ(c-a) )/(Γ(c)))(Subscript[F, 1])(a;b1,b2;c;x,y)

Integrate[u^(a-1)(1-u)^(c-a-1)(1-u x)^(-b1)(1-u y)^(-b2),{u,0,1}]

Integrate[u^(a-1)(1-u)^(c-a-1)(1-u x)^(-b1)(1-u y)^(-b2),{u,0,1},Assumptions->Abs[x]<1&&Abs[y]<1]

DeleteCases[Table[With[{
a=Random[Complex,5(I+1){-1,1},50],
b1=Random[Complex,5(I+1){-1,1},50],
b2=Random[Complex,5(I+1){-1,1},50],
c=Random[Complex,5(I+1){-1,1},50],
x=Random[Complex,(I+1){-1,1},50],
y=Random[Complex,(I+1){-1,1},50]
},
If[Abs[x]<1&&Abs[y]<1&&Re[a]>0&&Re[c-a]>0,
{
NIntegrate[u^(a-1)(1-u)^(c-a-1)(1-u x)^(-b1)(1-u y)^(-b2),{u,0,1},WorkingPrecision->30,MaxRecursion->10],
((Γ(a) Γ(c-a) )/(Γ(c)))(Subscript[F, 1])(a;b1,b2;c;x,y)
},
{}]
],{100}],{}]//N

Subtract@@@%//Chop//Union

(∫_0^1)(∫_0^(1-v))(u^(b1-1)) (v^(b2-1)) (((-u-v+1))^(-b1-b2+c-1)) (((-u x-v y+1))^(-a))dudv==((Γ(b1) Γ(b2) Γ(-b1-b2+c))/(Γ(c))) (Subscript[F, 1])(a;b1,b2;c;x,y)

Integrate[u^(b1-1)v^(b2-1)(1-u-v)^(c-b1-b2-1)(1-u x-v y)^(-a),{v,0,1},{u,0,1-v}]

FullSimplify[Integrate[(a+b Sin[x]+c Cos[x])^n,x]]//TraditionalForm

Older form returned by Integrate:

Notation

<<Utilities`Notation`

Symbolize[(Subscript[a_, i_])]

Notation[(Subscript[F, 2])(a_,{b1_,b2_},{c1_,c2_},{x_,y_}) ⟺ AppellF2[a_,{b1_,b2_},{c1_,c2_},{x_,y_}]]

AddInputAlias[(Subscript[F, 2])(\[SelectionPlaceholder],{\[Placeholder],\[Placeholder]},{\[Placeholder],\[Placeholder]},{\[Placeholder],\[Placeholder]}),"f2"]

Notation[(Subscript[F, 3])({a1_,a2_},{b1_,b2_},c_,{x_,y_}) ⟺ AppellF3[{a1_,a2_},{b1_,b2_},c_,{x_,y_}]]

AddInputAlias[(Subscript[F, 3])({\[SelectionPlaceholder],\[Placeholder]},{\[Placeholder],\[Placeholder]},\[Placeholder],{\[Placeholder],\[Placeholder]}),"f3"]

Mathai Version

Integrate[(t^α)(((1-t))^(-β))(((γ-t))^(-δ)),{t,0,(1/γ)},Assumptions->γ>1&&Re[α]>-1]

Simplify[
(((γ^(-1-α-δ)) AppellF1[1+α,β,δ,2+α,(1/γ),(1/(γ^2))])/(1+α))/.
AppellF1[x_,y_,z_,a_,b_,c_]:>MAppellF1[x,y,z,a,b,c](b^(-z-x+1)),γ>1]

(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]);x,y)

Summation

(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]);x,y)==(∑_(m=0)^∞)(∑_(n=0)^∞)(((Subscript[(a), m+n]) (Subscript[((Subscript[b, 1])), m]) (Subscript[((Subscript[b, 2])), n]))/(m!n!(Subscript[((Subscript[c, 1])), m]) (Subscript[((Subscript[c, 2])), n])))(x^m)(y^n)

Direct implementation via truncating this sum (NSum is very slow):

AppellF2S[a_,{b1_,b2_},{c1_,c2_},{x_,y_},mmax_:50,nmax_:50]:=(∑_(m=0)^mmax)(∑_(n=0)^nmax)(((Subscript[(a), m+n]) (Subscript[(b1), m]) (Subscript[(b2), n]))/(m!n!(Subscript[(c1), m]) (Subscript[(c2), n])))(x^m)(y^n)

The sum is rapidly convergent for some parameters,

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=1,(Subscript[c, 1])=3,(Subscript[c, 2])=3,x=0.5,y=0.3},AppellF2S[a,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])},{x,y}]]

but, not suprisingly, is divergent for others.

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=1,(Subscript[c, 1])=3,(Subscript[c, 2])=3,x=-5.,y=I},AppellF2S[a,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])},{x,y}]]

Transformations

For a range of parameters, we can use the transformations

({{(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]);x,y)==(((1-x))^(-a))(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[c, 1])-(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]);((-x)/(1-x)),(y/(1-x)))}, {==(((1-y))^(-a))(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[c, 2])-(Subscript[b, 2]);(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]);(x/(1-y)),-(y/(1-y)))}, {==(((1-x-y))^(-a))(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[c, 1])-(Subscript[b, 1]),(Subscript[c, 2])-(Subscript[b, 2]);(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]);-(x/(1-x-y)),-(y/(1-x-y)))}})

to obtain convergent sums. For the above example, using the first transformation we obtain

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=1,(Subscript[c, 1])=3,(Subscript[c, 2])=3,x=-5,y=I},(((1-x))^(-a))AppellF2[a,{(Subscript[c, 1])-(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])},{((-x)/(1-x)),(y/(1-x))}]]

which evaluates to

N[%]/.AppellF2->AppellF2S

Using the third transformation we obtain

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=1,(Subscript[c, 1])=3,(Subscript[c, 2])=3,x=-5,y=I},(((1-x-y))^(-a))AppellF2[a,{(Subscript[c, 1])-(Subscript[b, 1]),(Subscript[c, 2])-(Subscript[b, 2])},{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])},{-(x/(1-x-y)),-(y/(1-x-y))}]]

which evaluates to

N[%]/.AppellF2->AppellF2S

Two special cases can be used as tests.

(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);c,a;x,y)==(((1-y))^(-(Subscript[b, 2])))(Subscript[F, 1])((Subscript[b, 1]);a-(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 2]);c;x,(x/(1-y)))

Here we compute (Subscript[F, 2])(1;1,2;3,1;-0.5,0.3+0.2i) three ways. Here is the direct sum.

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=2,c=3,x=-0.5,y=0.3+0.2I},AppellF2S[a,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{c,a},{x,y}]]

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=2,c=3,x=-0.5,y=0.3+0.2I},AppellF2S[a,{(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 1])},{a,c},{y,x}]]

Here we use (6).

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=2,c=3,x=-0.5,y=0.3+0.2I},(((1-x))^(-a))AppellF2S[a,{c-(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{c,a},{((-x)/(1-x)),(y/(1-x))}]]//N

Here we use (7).

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=2,c=3,x=-0.5,y=0.3+0.2I},(((1-y))^(-(Subscript[b, 2])))(Subscript[F, 1])((Subscript[b, 1]);a-(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 2]);c;x,(x/(1-y)))]//Expand

Here is the second special case.

(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);a,a;x,y)==(((1-x))^(-(Subscript[b, 1])))(((1-y))^(-(Subscript[b, 2])))(Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])((Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);a;((x y)/((1-x) (1-y))))

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=2,x=-0.2,y=0.3+0.4I},AppellF2S[a,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{a,a},{x,y}]]

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=2,x=-0.2,y=0.3+0.4I},(((1-x))^(-(Subscript[b, 1])))(((1-y))^(-(Subscript[b, 2])))(Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])((Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);a;((x y)/((1-x) (1-y))))]

Integral

Direct implementation of (2) via numerical integration:

AppellF2I1[a_,{b1_,b2_},{c1_,c2_},{x_,y_}]:=(( Γ(c1) Γ(c2))/(Γ(b1) Γ(b2) Γ(c1-b1) Γ(c2-b2)))NIntegrate[(((u^(b1-1))(v^(b2-1)) (((1-u))^(c1-b1-1))  (((1-v))^(c2-b1-1)) )/(((1-u x-v y))^a)),{v,0,1},{u,0,1}]

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=1,(Subscript[c, 1])=3,(Subscript[c, 2])=3,x=0.5,y=0.3},AppellF2I1[a,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])},{x,y}]]

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=1,(Subscript[c, 1])=3,(Subscript[c, 2])=3,x=-5,y=I},AppellF2I1[a,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])},{x,y}]]

A second option is to compute the one integral in closed form, say

(∫_0^1)(u^((Subscript[b, 1])-1))(v^((Subscript[b, 2])-1)) (((1-u))^((Subscript[c, 1])-(Subscript[b, 1])-1))(((1-v))^((Subscript[c, 2])-(Subscript[b, 1])-1))(((1-u x-v y))^(-a))\[DifferentialD]u

Hence

(Subscript[F, 2])(a;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]);x,y)==((Γ((Subscript[c, 1])) Γ((Subscript[c, 2])))/(Γ((Subscript[b, 2])) Γ((Subscript[c, 2])-(Subscript[b, 2]))))(∫_0^1)(((1-v))^((Subscript[c, 2])-(Subscript[b, 1])-1)) (v^((Subscript[b, 2])-1)) (((1-v y))^(-a))  (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(a,(Subscript[b, 1]);(Subscript[c, 1]);(x/(1-v y)))dv,

that is

AppellF2I2[a_,{b1_,b2_},{c1_,c2_},{x_,y_}]:=((Γ(c1) Γ(c2))/(Γ(b2) Γ(c2-b2))) NIntegrate[(((1-v))^(c2-b1-1)) (v^(b2-1)) (((1-v y))^(-a))  (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(a,b1;c1;(x/(1-v y))),{v,0,1}]

when the following condition is satisfied:

test[a_,{b1_,b2_},{c1_,c2_},{x_,y_}]:=Reduce[0<v<1∧Re(b1)>0∧Re(v y)<1∧Re(b1)<Re(c1)∧(Re(((1-v y)/x))≤0∨Re(((1-v y)/x))≥1∨Im(((1-v y)/x))≠0)]

For the first set of parameters,

test[1,{1,1},{3,3},{1/2,3/10}]

we obtain

AppellF2I2[1,{1,1},{3,3},{1/2,3/10}]

For the second set of parameters,

With[{a=1,(Subscript[b, 1])=1,(Subscript[b, 2])=1,(Subscript[c, 1])=3,(Subscript[c, 2])=3,x=-5,y=I},{test[a,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])},{x,y}],AppellF2I2[a,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])},{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])},{x,y}]}]

(Subscript[F, 3])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);c;x,y)

Summation

(Subscript[F, 3])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);c;x,y)==(∑_(m=0)^∞)(∑_(n=0)^∞)(((Subscript[((Subscript[a, 1])), m]) (Subscript[((Subscript[a, 2])), n]) (Subscript[((Subscript[b, 1])), m]) (Subscript[((Subscript[b, 2])), n]))/(m!n!(Subscript[(c), m+n])))(x^m)(y^n)

AppellF3S[{a1_,a2_},{b1_,b2_},c_,{x_,y_},mmax_:50,nmax_:50]:=(∑_(m=0)^mmax)(∑_(n=0)^nmax)(((Subscript[(a1), m]) (Subscript[(a2), n]) (Subscript[(b1), m]) (Subscript[(b2), n]))/(m!n!(Subscript[(c), m+n])))(x^m)(y^n)

AppellF3S[{1,1},{2,2},6,{0.5,0.3}]

Integral

Compute the inner integral under a particular set of assumptions.

Assuming[v<1∧Re((Subscript[b, 1]))>0∧Re(c)>Re((Subscript[b, 1]))+Re((Subscript[b, 2]))∧v+Re((1/x))≥1,(∫_0^(1-v))(u^((Subscript[b, 1])-1))(v^((Subscript[b, 2])-1)) (((1-u-v))^(c-(Subscript[b, 1])-(Subscript[b, 2])-1))(((1-u x))^(-(Subscript[a, 1])))(((1-v y))^(-(Subscript[a, 2])))\[DifferentialD]u]

Hence

(Subscript[F, 3])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),;(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);c;x,y)==((Γ(c))/(Γ((Subscript[b, 2]))))(∫_0^1)(((1-v))^(c-(Subscript[b, 2])-1)) (v^((Subscript[b, 2])-1)) (((1-v y))^(-(Subscript[a, 2])))(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])((Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 1]);c-(Subscript[b, 2]);x (1-v))dv

AppellF3I[{a1_,a2_},{b1_,b2_},c_,{x_,y_}]:=((Γ(c))/(Γ(b2))) NIntegrate[(((1-v))^(c-b2-1)) (v^(b2-1)) (((1-v y))^(-a2))(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(a1,b1;c-b2;x (1-v)),{v,0,1}]

AppellF3I[{1,1},{2,2},6,{0.5,0.3}]