Antiprism Graph

Author

Eric W. Weisstein
August 2, 2023

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Figure

Graphs.m

GraphicsGrid[Partition[Table[AntiprismGraph[n]//StyleGraphs,{n,3,12}],5]]

Graphs.m TriangularEmbedding

GraphicsGrid[Partition[Table[AntiprismGraph[n,GraphLayout->"TriangularEmbedding"]//StyleGraphs,{n,3,12}],5]]

GraphData

GraphicsGrid[Partition[GraphData/@Take[SortBy[GraphData["Antiprism"],GraphData[#,"VertexCount"]&],10],5]]

Combinatorica

ShowGraphArray[{
Table[AntiprismGraph[n],{n,3,7}],
Table[CirculantGraph[2n,{1,2}],{n,3,7}]
},
VertexColor->Red,
VertexStyle->Disk[.08],
AspectRatio->Automatic]

Special cases

With[{cl="Antiprism"},TextGrid[Sort[{cl/.GraphData[#,"NotationRules"],GraphData[#,"Name"]}&/@DeleteCases[GraphData[cl],{cl,_}]],Dividers->All]]

Circulant

ToEntity/@Table[System`CirculantGraph[2n,{1,2}],{n,3,25}]

Properties

Acyclic

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Acyclic"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Acyclic"],{n,3,25}]

AdjacencyMatrixCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["AdjacencyMatrixCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"AdjacencyMatrixCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-3]//FullSimplify

Table[Gamma[2n]/2,{n,3,25}]

AlmostHamiltonian

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["AlmostHamiltonian"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"AlmostHamiltonian"],{n,3,25}]

AlternatingGroup

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["AlternatingGroup"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"AlternatingGroup"],{n,3,25}]

Anarboricity

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Anarboricity"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Anarboricity"],{n,3,25}]

Andrasfai

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Andrasfai"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Andrasfai"],{n,3,25}]

Antelope

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Antelope"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Antelope"],{n,3,25}]

Antiprism

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Antiprism"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Antiprism"],{n,3,25}]

Apex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Apex"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Apex"],{n,3,25}]

Apollonian

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Apollonian"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Apollonian"],{n,3,25}]

Archimedean

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Archimedean"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Archimedean"],{n,3,25}]

ArchimedeanDual

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ArchimedeanDual"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ArchimedeanDual"],{n,3,25}]

Arboricity

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Arboricity"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Arboricity"],{n,3,25}]

Monitor[Table[Arboricity[AntiprismGraph[n]],{n,3,7}],n]//Timing

ArcTransitive

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ArcTransitive"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ArcTransitive"],{n,3,25}]

ArcTransitivity

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ArcTransitivity"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ArcTransitivity"],{n,3,25}]

AutomorphismCount

A124354

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["AutomorphismCount"]

seq=DeleteCases[GraphData[{"Antiprism",#},"|Aut|"]&/@Range[3,20],_Missing]

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-4]

Table[Piecewise[{{48,n==3}},4n],{n,3,25}]

BalabanIndex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["BalabanIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"BalabanIndex"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[%,n-2]

Bandwidth

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Bandwidth"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Bandwidth"],{n,3,25}]

BridgeCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["BridgeCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"BridgeCount"],{n,3,25}]

BurningNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["BurningNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"BurningNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

gf=(x^3)FindGeneratingFunction[seq,x]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>2]

CharacteristicPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CharacteristicPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CharacteristicPolynomial"],{n,k0=3,20}]/.f_Function:>f[x])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

CoefficientList[Take[poly,10],x]

StringReplace[ToString[Expand[#],InputForm]&/@Take[poly,5]," "->""]//Column

ChordCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ChordCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ChordCount"],{n,3,25}]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"EdgeCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[%,n-2]//Simplify

Chordless

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Chordless"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Chordless"],{n,3,25}]

ChordlessCycleCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ChordlessCycleCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ChordlessCycleCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[Take[seq,{2,10}],n-3]//FullSimplify

Table[Piecewise[{{3,n==3}},RootSum[-1+#1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)&,#^n&]],{n,3,25}]

gf=FindGeneratingFunction[{3,10,17,29,51,90,158,277,486,853,1497,2627,4610,8090,14197},x]

SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}]//FullSimplify

ChordlessCyclePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ChordlessCyclePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ChordlessCyclePolynomial"],{n,k0=4,20}]/.f_Function:>f[x])//Column

coef=FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>3]

Chords

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Chords"],{n,3,25}]

ChromaticInvariant

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ChromaticInvariant"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ChromaticInvariant"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Table[-1+((((1/2) (3-(Sqrt[5]))))^n)+((((1/2) (3+(Sqrt[5]))))^n)-2 n,{n,3,25}]//FullSimplify

((1/2) (3-(Sqrt[5])))//N

1/GoldenRatio^2//N

((1/2) (3+(Sqrt[5])))//N

(GoldenRatio^2)//N

Table[(GoldenRatio^(-2n))+(GoldenRatio^(2n))-2 n-1,{n,3,25}]//FullSimplify

Table[LucasL[2 n]-2n-1,{n,3,25}]

ChromaticNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ChromaticNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ChromaticNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Factor[3+(-3+n) n]

FindGeneratingFunction[seq,x]//Simplify

SeriesCoefficient[%,{x,0,n}]//FullSimplify

Table[(1/3) (11-2 Cos[((2 n π)/3)]),{n,3,25}]

Table[Piecewise[{{3,n>2&&Mod[n,3]==0},{4,n>2&&Mod[n,3]>0}},Missing["NotApplicable"]],{n,3,25}]

ChromaticPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ChromaticPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ChromaticPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

coef=Factor/@FindPolynomialRecurrence[poly,6]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

Circumference

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Circumference"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Circumference"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

Classes

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Classes"]

Intersection@@(GraphData[#,"Classes"]&/@GraphData["Antiprism"])

CliqueCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CliqueCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CliqueCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n]

FindGeneratingFunction[seq,x]

SeriesCoefficient[%x,{x,0,n}]//FullSimplify

Table[Piecewise[{{27,n==3}},8n+1],{n,3,25}]

CliqueCoveringNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CliqueCoveringNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CliqueCoveringNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Table[Floor[2(n+1)/3],{n,3,25}]

CliquePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CliquePolynomial"][x]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CliquePolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

Table[(Piecewise[{{(1+2 #)^3,n==3}},1+2 n # (1+#)^2]&)[x],{n,k0,20}]

FullSimplify[%-poly]

CliqueNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CliqueNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CliqueNumber"],{n,3,25}]

ComplementOddChordlessCycleCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ComplementOddChordlessCycleCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ComplementOddChordlessCycleCount"],{n,3,25}]

ComplementOddChordlessCyclePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ComplementOddChordlessCyclePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ComplementOddChordlessCyclePolynomial"],{n,k0=3,20}]/.f_Function:>f[x])//Column

ConnectedDominatingSetCount

A286986

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ConnectedDominatingSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ConnectedDominatingSetCount"],{n,3,25}]

coef=FindLinearRecurrence[DeleteCases[seq,_Missing]]

LinearRecurrence[coef,Take[seq,Length[coef]],{-1,0}]

FindSequenceFunction[DeleteCases[seq,_Missing],n-2]

seq={3,15,54,175,543,1642,4875,14271,41310,118487};

gf=x FindGeneratingFunction[DeleteCases[seq,_Missing],x]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>0]

Table[(1/5) (2^(-n)) ((((3+(Sqrt[5])))^n) (5+2 (-5+3 (Sqrt[5])) n)+(((3-(Sqrt[5])))^n) (5-2 (5+3 (Sqrt[5])) n)),{n,10}]//Expand

Table[(2^(-n)) ((((3+(Sqrt[5])))^n) +(((3-(Sqrt[5])))^n) ),{n,10}]//Expand

Table[LucasL[2n],{n,10}]

Table[(1/5) (2^(-n)) ((((3+(Sqrt[5])))^n)(-5+3 (Sqrt[5]))-(((3-(Sqrt[5])))^n) (5+3 (Sqrt[5])) ),{n,10}]//Expand

Table[2Fibonacci[2n-2],{n,10}]

Table[LucasL[2n]+4n Fibonacci[2n-2],{n,20}]

eqns=Prepend[Table[a[n]==seq[[n]],{n,Length[coef]}],a[n]==Sum[coef[[i]]a[n-i],{i,Length[coef]}]]

FullSimplify[RSolve[eqns,a[n],n],n>0]

Table[(((2^(-n)) ((((3+(Sqrt[5])))^n) (143285+64079 (Sqrt[5])+8 (12238+5473 (Sqrt[5])) n)+(((3-(Sqrt[5])))^n) (143285+64079 (Sqrt[5])-4 (167761+75025 (Sqrt[5])) n)))/(143285+64079 (Sqrt[5]))),{n,8}]//FullSimplify

(x^(-1+n)) (n (1+x) (2+x) ChebyshevU[-1+n,1+(x/2)]-(n+(-1+n) x) LucasL[2 n,(Sqrt[x])])/.x->1

Table[6 n ChebyshevU[n-1,(3/2)]+(1-2 n) LucasL[2 n],{n,30}]

LinearRecurrence[{6,-11,6,-1},{3,15,54,175},30]

FullSimplify[6 n ChebyshevU[-1+n,(3/2)]+(1-2 n) LucasL[2 n]-(LucasL[2n]+4n Fibonacci[2n-2])]

Table[%,{n,10}]

ConnectedDominationNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ConnectedDominationNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ConnectedDominationNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

ConnectedDominationPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ConnectedDominationPolynomial"][x]

(poly=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ConnectedDominationPolynomial"],{n,k0=3,kmax=20}]/.f_Function:>f[x])//Factor//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[DeleteMissing[poly]]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

Table[(2^(-n)) ((((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-((n (1+x) ((2+x) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-(2+x) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)))/((x^(3/2)) (Sqrt[4+x])))),{n,3,6}]//Factor//Column

Table[(2^(-n)) ((((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)),{n,3,6}]//Expand//Column

CoefficientList[%,x]

Table[2(((-x))^n) ChebyshevT[2n,I Sqrt[x]/2],{n,3,6}]//Expand

LucasL[2n]+4n Fibonacci[2n-2]

Table[(x^n)LucasL[2n,Sqrt[x]],{n,3,6}]//Expand//Column

Table[(x^n)LucasL[2n,Sqrt[x]]+(2^(-n)) (-((n (1+x) ((2+x) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-(2+x) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)))/((x^(3/2)) (Sqrt[4+x])))),{n,3,6}]//Factor//Column

CoefficientList[Table[(2^(-n)) (-((n (1+x)((2+x) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-(2+x) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)))/((x^(3/2)) (Sqrt[4+x])))),{n,7}]//Expand,x]

CoefficientList[Table[(2^(-n)) (-((((2+x) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-(2+x) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)))/((x^(3/2)) (Sqrt[4+x])))),{n,8}]//Expand,x]

Table[(2+x)(x^(n-1)) ChebyshevU[n-1,1+(x/2)]-(x^(n-1))LucasL[2n,Sqrt[x]],{n,5}]//Expand

CoefficientList[%,x]

Table[(2^(-n)) (-((((2+x) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-(2+x) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)))/((x^(3/2)) (Sqrt[4+x])))),{n,6}]//Expand//Column

CoefficientList[%,x]

Table[(x^(n-1))(2+x) ChebyshevU[n-1,1+(x/2)],{n,6}]//Expand//Column

Table[(x^n)LucasL[2n,Sqrt[x]]+n(1+x)(2+x)(x^(n-1)) ChebyshevU[n-1,1+(x/2)]-(2^(-n)) n(1+x)((((Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+((Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)))/((x^(3/2)) (Sqrt[4+x])))),{n,3,6}]//Factor//Column

Table[(2^(-n)) (-(+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n))),{n,7}]//Expand

A140882

CoefficientList[%,x]

Table[(2^(-n))((((Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+((Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)))/((x^(3/2)) (Sqrt[4+x])))),{n,10}]//Expand

CoefficientList[%,x]

%//Column

Table[(x^(n-1))LucasL[2n,Sqrt[x]],{n,10}]//Expand//Column

Table[(x^n)LucasL[2n,Sqrt[x]]+n(1+x)(2+x)(x^(n-1)) ChebyshevU[n-1,1+(x/2)]-n(1+x)(x^(n-1))LucasL[2n,Sqrt[x]],{n,3,10}]//Factor//Column

poly=Table[(2^(-n)) ((((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-((n (1+x) ((2+x) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x-(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)-(2+x) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]) (((x (2+x+(Sqrt[x]) (Sqrt[4+x]))))^n)))/((x^(3/2)) (Sqrt[4+x])))),{n,10}]//FullSimplify

gf=z FindGeneratingFunction[DeleteMissing[poly],z]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

FullSimplify[(x^n)LucasL[2n,Sqrt[x]]+n(1+x)(2+x)(x^(n-1)) ChebyshevU[n-1,1+(x/2)]-n(1+x)(x^(n-1))LucasL[2n,Sqrt[x]]]

Table[(x^(-1+n)) (n (1+x) (2+x) ChebyshevU[-1+n,1+(x/2)]-(n+(-1+n) x) LucasL[2 n,(Sqrt[x])]),{n,3,5}]//Expand//Factor

(-I)^n Fibonacci[n+1,-I x]==ChebyshevU[n,x/2]

Table[(x^(-1+n)) (n (1+x) (2+x) ChebyshevU[-1+n,((x+2)/2)]-(n+(-1+n) x) LucasL[2 n,(Sqrt[x])]),{n,3,5}]//Expand//Factor

Table[(x^(-1+n)) (n (1+x) (2+x)(I^(n-1)) Fibonacci[n,-I(x+2)]-(n+(-1+n) x) LucasL[2 n,(Sqrt[x])]),{n,3,5}]//Expand//Factor

Factor[(n+(-1+n) x)]

ConnectedInducedSubgraphCount

A286183

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ConnectedInducedSubgraphCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ConnectedInducedSubgraphCount"],{n,3,25}]

seq={3,15,60,207,663,2038,6107,17983,52272,150407,429223,1216490,3427635,9609327,26821668,74576703,206650167,570877918,1572754187,4322192287,11851474968,32430381815,88576465735,241511251922,657457204323,1787147867343,4851349002252};

FindLinearRecurrence[DeleteCases[seq,_Missing]]

FindSequenceFunction[DeleteCases[seq,_Missing],n]

gf=x FindGeneratingFunction[DeleteCases[seq,_Missing],x]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>0&&n∈Integers]

Table[(1/5) (2^(-n)) (5 (((3-(Sqrt[5])))^n)-5 (2^(1+n)) n-2 (Sqrt[5]) (((3-(Sqrt[5])))^n) n+(((3+(Sqrt[5])))^n) (5+2 (Sqrt[5]) n)),{n,10}]//Expand

Table[(2^(-n)) ( (((3-(Sqrt[5])))^n)+(((3+(Sqrt[5])))^n) ),{n,10}]//Expand

Table[LucasL[2n],{n,10}]

Table[LucasL[2n]+(1/5) (2^(-n)) (-5 (2^(1+n)) n-2 (Sqrt[5]) (((3-(Sqrt[5])))^n) n+(((3+(Sqrt[5])))^n) (2 (Sqrt[5]) n)),{n,10}]//Expand

Table[LucasL[2n]-2n+(((2 (Sqrt[5]) n)(2^(-n)))/5) ( (((3+(Sqrt[5])))^n) - (((3-(Sqrt[5])))^n) ),{n,10}]//Expand

Table[(( (((3+(Sqrt[5])))^n) - (((3-(Sqrt[5])))^n) )/(2^n(Sqrt[5]))),{n,10}]//Expand

Table[Fibonacci[2n],{n,10}]

Table[LucasL[2n]-2n+2n Fibonacci[2n],{n,10}]//Expand

ConnectedInducedSubgraphPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ConnectedInducedSubgraphPolynomial"][x]

Table[LucasL[2n,(Sqrt[x])]2x-2n x+2n (Sqrt[x])Fibonacci[2n,(Sqrt[x])],{n,3,5}]//Factor//Column

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ConnectedInducedSubgraphPolynomial"],{n,k0=3,20}]/.f_Function:>f[x])//Factor//Column

Length[DeleteMissing[poly]]

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[DeleteMissing[poly]]

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[Drop[DeleteMissing[poly],2]]

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[Rest@DeleteMissing[poly]]

coef=Factor/@FindPolynomialRecurrence[DeleteMissing[poly],5]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

FullSimplify[%-poly]

CrossingNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CrossingNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CrossingNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

CycleCount

A077263

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CycleCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CycleCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

gf=FindGeneratingFunction[seq,x]

SeriesCoefficient[(x^3)gf,{x,0,n}]//FullSimplify

Table[%,{n,3,25}]//RootReduce

Table[4n(n-1)+RootSum[-1-#-3 #^2+#^3&,#^n&],{n,3,25}]

CyclePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CyclePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CyclePolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

coef=Factor/@FindPolynomialRecurrence[poly,6]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

Table[Function[x,Evaluate@Factor@LinearRecurrence[{2+2 x+3 x^2,-1-4 x-7 x^2-4 x^3-x^4,-x (-2-5 x-8 x^2-4 x^3-2 x^4+2 x^5),x^2 (-1-4 x-5 x^2-4 x^3+3 x^4),x^4 (2+2 x+x^6),-x^6 (1+2 x^4),x^10},{x (2+x),x^2 (2+8 x+9 x^2),x^3 (8+15 x+24 x^2+16 x^3),x^3 (8+10 x+24 x^2+52 x^3+56 x^4+29 x^5),x^3 (10+10 x+12 x^2+35 x^3+100 x^4+160 x^5+140 x^6+56 x^7),x^3 (12+12 x+12 x^2+14 x^3+48 x^4+177 x^5+388 x^6+498 x^7+348 x^8+110 x^9),14 x^3+14 x^4+14 x^5+14 x^6+16 x^7+63 x^8+294 x^9+833 x^10+1428 x^11+1470 x^12+854 x^13+225 x^14},{n}][[1]]][x],{n,k0,20}]

FullSimplify[%-poly]

Cyclic

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Cyclic"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Cyclic"],{n,3,25}]

CyclomaticNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["CyclomaticNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"CyclomaticNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

DetourIndex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["DetourIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"DetourIndex"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//Factor

DetourPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["DetourPolynomial"][x]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"DetourPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

coef=Factor/@FindPolynomialRecurrence[poly,6]

Table[((2 n-1+#)^(2 n-1) (#-(2 n-1)^2)&)[x],{n,k0,20}]

FullSimplify[%-poly]

Diameter

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Diameter"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Diameter"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Table[Floor[(n+1)/2],{n,3,25}]

DistancePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["DistancePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"DistancePolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

coef=Factor/@FindPolynomialRecurrence[poly,6]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

Table[n x(3x+2)-2x^2+1,{n,10}]

FullSimplify[%-poly]

DistinguishingNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["DistinguishingNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"DistinguishingNumber"],{n,3,25}]

Do[Print[{n,DistinguishingNumber[AntiprismGraph[n]]//Timing}],{n,4,20}]

DomaticNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["DomaticNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"DomaticNumber"],{n,3,25}]

Table[Piecewise[{{3,n==3},{5,Mod[n,5]==0}},4],{n,3,25}]

%==seq

DominationNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["DominationNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"DominationNumber"],{n,3,25}]

Table[Floor[2(n+2)/5],{n,3,25}]

%==seq

FindSequenceFunction[seq,n-2]

FindGeneratingFunction[seq,x]

Series[x^3((2+(x^3)-(x^5))/((((-1+x))^2) (1+x+(x^2)+(x^3)+(x^4)))),{x,0,10}]

SeriesCoefficient[x^3((2+(x^3)-(x^5))/((((-1+x))^2) (1+x+(x^2)+(x^3)+(x^4)))),{x,0,n}]//FullSimplify

FullSimplify[%,n>2]

Table[(2/5) (1+n+((((-1))^(2 n/5)) ((1/2) (-5+(Sqrt[5]))+(((-1))^(4/5)) (Sqrt[5]) (E^(-(6/5) I n π))+(E^(-(4/5) I n π)) Root[25+25 #1+10 ((#1)^2)+((#1)^4)&,1]+(E^((2 I n π)/5)) Root[25+25 #1+15 ((#1)^2)+5 ((#1)^3)+((#1)^4)&,3]))/(5+Root[125+50 ((#1)^2)+((#1)^4)&,2])),{n,3,25}]//FullSimplify

RootReduce[%108]

DominationPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["DominationPolynomial"]

(poly=Factor[Table[GraphData[{"Antiprism",n},"DominationPolynomial"],{n,k0=3,kmax=20}]/.f_Function:>f[x]])//Column

CoefficientList[Take[poly,5],x]

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

p=.

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

Simplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>2]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

Refine[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>2]

Table[Function[x,Evaluate@Factor@LinearRecurrence[{x (2+x),x (2+x),x^2,x^2,x^2},{x (2+x),x (4+6 x+4 x^2+x^3),x^2 (15+20 x+15 x^2+6 x^3+x^4),x^2 (12+48 x+70 x^2+56 x^3+28 x^4+8 x^5+x^6),x^2 (5+60 x+170 x^2+242 x^3+210 x^4+120 x^5+45 x^6+10 x^7+x^8)},{n}][[1]]][x],{n,k0,20}]

FullSimplify[%-poly]

DominatingSetCount

A284699

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["DominatingSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"DominatingSetCount"],{n,3,25}]

FindLinearRecurrence[seq]

LinearRecurrence[{3,3,1,1,1},{57,223,863,3333,12883},{-1,2}]

LinearRecurrence[{3,3,1,1,1},{3,15,57,223,863,3333,12883},30]

seq={3,15,57,223,863,3333,12883,49791,192441,743775,2874655,11110405,42941187,165965647,641449337,2479171199,9581878847,37033506309,143132741651,553201243263,2138096511097,8263641389887,31938581194175,123441098248197,477093977471363,1843945546253839,7126761892007865,27544595971698847,106458554213093535,411457251970110213};

FindSequenceFunction[{3,15,57,223,863,3333,12883,49791,192441,743775,2874655,11110405,42941187,165965647,641449337,2479171199,9581878847,37033506309,143132741651,553201243263},n]

RSolve[{a[n]==3a[n-1]+3a[n-2]+a[n-3]+a[n-4]+a[n-5],a[1]==3,a[2]==15,a[3]==57,a[4]==223,a[5]==863},a[n],n]

gf=x FindGeneratingFunction[seq,x]

bug(334115)

soln=Simplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>0]

FullSimplify[List@@soln/.n->0]

Table[RootSum[-1-#-((#)^2)-3 ((#)^3)-3 ((#)^4)+((#)^5)&,#^n&],{n,10}]

EdgeChromaticNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["EdgeChromaticNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"EdgeChromaticNumber"],{n,3,25}]

EdgeConnectivity

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["EdgeConnectivity"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"EdgeConnectivity"],{n,3,25}]

EdgeCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["EdgeCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"M"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

EdgeCoverCount

A284700

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["EdgeCoverCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"EdgeCoverCount"],{n,3,25}]

seq={4,13,205,2902,41413,590758,8427370,120219259,1714968133,24464596729,348995693650,4978540849669,71020558255594,1013132129923498,14452670295681235,206172198577335937,2941115696724530533,41956003773586931038,598516493115066264085};

FindLinearRecurrence[DeleteCases[seq,_Missing]]

LinearRecurrence[{13,18,1,-4},{13,205,2902,41413},{0,20}]

FindSequenceFunction[DeleteCases[seq,_Missing]]

gf=FindGeneratingFunction[DeleteCases[seq,_Missing],x]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>0]

Table[RootSum[4-#-18 ((#)^2)-13 ((#)^3)+((#)^4)&,#^n&],{n,0,20}]

EdgeCoverNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["EdgeCoverNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"EdgeCoverNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

EdgeCoverPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["EdgeCoverPolynomial"]

(poly=Factor[Table[GraphData[{"Antiprism",n},"EdgeCoverPolynomial"],{n,k0=3,20}]/.f_Function:>f[x]])//Column

CoefficientList[Take[poly,4],x]

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[DeleteMissing[poly]]

coef=Factor/@FindPolynomialRecurrence[poly,6]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

Table[n x(3x+2)-2x^2+1,{n,10}]

FullSimplify[%-poly]

EulerianCycleCount

A297384

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["EulerianCycleCount"]

Table[-(2/3) (2+(4^n))+(2^n) LucasL[2 n,(Sqrt[2])],{n,3,25}]//Round

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"EulerianCycleCount"],{n,3,25}]

FindLinearRecurrence[DeleteCases[seq,_Missing]]

FindSequenceFunction[DeleteCases[seq,_Missing],n-2]

FindGeneratingFunction[DeleteCases[seq,_Missing],x]

FaceCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["FaceCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"FaceCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

FibonacciCube

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["FibonacciCube"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"FibonacciCube"],{n,3,25}]

FlowPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["FlowPolynomial"][x]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"FlowPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

Table[1+(((-2+x))^(2 n))-3 x+(x^2)-(2^(-n)) (((6-4 x+(x^2)-(-2+x) (Sqrt[8+(-4+x) x])))^n)+(2^(-n)) x (((6-4 x+(x^2)-(-2+x) (Sqrt[8+(-4+x) x])))^n)+(2^(-n)) (-1+x) (((6-4 x+(x^2)+(-2+x) (Sqrt[8+(-4+x) x])))^n),{n,k0,20}]

FullSimplify[%-poly]

FractionalChromaticNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["FractionalChromaticNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"FractionalChromaticNumber"],{n,3,25}]

Table[Piecewise[{{3,Mod[n,3]==0},{((3n)/(n-1)),Mod[n,3]==1},{((6 n)/(2 n-1)),Mod[n,3]==2}}],{n,3,25}]

%==seq

FindSequenceFunction[seq,n-2]

FindGeneratingFunction[seq,x]

FractionalCliqueNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["FractionalCliqueNumber"]

same as FractionalChromaticNumber

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"FractionalCliqueNumber"],{n,3,25}]

FractionalEdgeChromaticNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["FractionalEdgeChromaticNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"FractionalEdgeChromaticNumber"],{n,3,25}]

Girth

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Girth"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Girth"],{n,3,25}]

HamiltonDecompositionCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["HamiltonDecompositionCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"HamiltonDecompositionCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

Hamiltonian

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Hamiltonian"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Hamiltonian"],{n,3,25}]

HamiltonianCycleCount

1/2 * A124353

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["HamiltonianCycleCount"]

DeleteCases[GraphData[{"Antiprism",#},"HamiltonianCycleCount"]&/@Range[3,20],_Missing]

Table[(2 n+RootSum[-1-2 #-#^2+#^3&,#^n&]),{n,3,25}]

a(n)=3*a(n-1)-a(n-2)-2*a(n-3)+a(n-5) or a(n)=2*a(n-1)+a(n-2)-a(n-3)-a(n-4)-12.

32,58,112,220,450,

a[3]:=32
a[4]:=58
a[5]:=112
a[6]:=220
a[7]:=450
a[n_]:=a[n]=3a[n-1]-a[n-2]-2a[n-3]+a[n-5]

a/@Range[3,20]

Clear[a]

RSolve[a[n]==3a[n-1]-a[n-2]-2a[n-3]+a[n-5]&&a[3]==32&&a[4]==58&&a[5]==112&&a[6]==220&&a[7]==450,a[n],n]//FullSimplify

Table[2 (2 n+((Root[-1-2 #1-((#1)^2)+((#1)^3)&,1])^n)+((Root[-1-2 #1-((#1)^2)+((#1)^3)&,2])^n)+((Root[-1-2 #1-((#1)^2)+((#1)^3)&,3])^n)),{n,1,20}]//RootReduce

a[3]:=32
a[4]:=58
a[5]:=112
a[6]:=220
a[n_]:=a[n]=2a[n-1]+a[n-2]-a[n-3]-a[n-4]-12

a/@Range[3,20]

Clear[a]

RSolve[a[n]==2a[n-1]+a[n-2]-a[n-3]-a[n-4]-12&&a[3]==32&&a[4]==58&&a[5]==112&&a[6]==220,a[n],n]//Simplify

HamiltonianNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["HamiltonianNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"HamiltonianNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

HamiltonianPathCount

A124352

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["HamiltonianPathCount"]

DeleteCases[GraphData[{"Antiprism",#},"HamiltonianPathCount"]&/@Range[3,20],_Missing]

2Table[n (-32/3-8 n+4 RootSum[-1-2 #-#^2+#^3&,67 #^n+60 #^(n+1)+16 #^(n+2)&]/93)/2,{n,20}]

HamiltonianWalkCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["HamiltonianWalkCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"HamiltonianWalkCount"],{n,3,25}]

HararyIndex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["HararyIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"HararyIndex"],{n,3,25}]

FindLinearRecurrence[seq]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

Table[DifferenceRoot[Function[{\[FormalY],\[FormalN]},{-8 (3+\[FormalN]) (4+\[FormalN])-(3+\[FormalN]) (4+\[FormalN]) \[FormalY][\[FormalN]]+(-12-3 \[FormalN]) \[FormalY][1+\[FormalN]]+(3+\[FormalN]) (5+\[FormalN]) \[FormalY][2+\[FormalN]]==0,\[FormalY][1]==(27/2),\[FormalY][2]==22}]][-2+n],{n,20}]

FindSequenceFunction[{1,6,(27/2),22,(95/3),42,(637/12),(194/3),(384/5),(268/3),(1023/10),(578/5),(4524/35),(716/5),(8817/56),(6018/35),(117623/630),(7059/35),(68324/315),(14636/63)},n]

Table[DifferenceRoot[Function[{\[FormalY],\[FormalN]},{-8 (1+\[FormalN]) (2+\[FormalN])-(1+\[FormalN]) (2+\[FormalN]) \[FormalY][\[FormalN]]+(-6-3 \[FormalN]) \[FormalY][1+\[FormalN]]+(1+\[FormalN]) (3+\[FormalN]) \[FormalY][2+\[FormalN]]==0,\[FormalY][1]==1,\[FormalY][2]==6}]][n],{n,3,25}]

FunctionExpand[DifferenceRoot[Function[{\[FormalY],\[FormalN]},{-8 (1+\[FormalN]) (2+\[FormalN])-(1+\[FormalN]) (2+\[FormalN]) \[FormalY][\[FormalN]]+(-6-3 \[FormalN]) \[FormalY][1+\[FormalN]]+(1+\[FormalN]) (3+\[FormalN]) \[FormalY][2+\[FormalN]]==0,\[FormalY][1]==1,\[FormalY][2]==6}]][n]]

FindGeneratingFunction[{1,6,(27/2),22,(95/3),42,(637/12),(194/3),(384/5),(268/3),(1023/10),(578/5),(4524/35),(716/5),(8817/56),(6018/35),(117623/630),(7059/35),(68324/315),(14636/63)},x]

HexagonCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["HexagonCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"HexagonCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,4],n-6]

Table[Piecewise[{{16,n==3},{52,n==4},{35,n==5},{14,n==6}},2n],{n,3,25}]

%==seq

IdiosyncraticPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["IdiosyncraticPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"IdiosyncraticPolynomial"][x,y],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

coef=Factor/@FindPolynomialRecurrence[poly,6]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

Table[n x(3x+2)-2x^2+1,{n,10}]

FullSimplify[%-poly]

IndependenceNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["IndependenceNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"IndependenceNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Table[Floor[2n/3],{n,3,25}]

IndependencePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["IndependencePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"IndependencePolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

CoefficientList[Take[poly,4],x]

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

Simplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

soln=FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>2]

RootReduce[FullSimplify[Rest[List@@soln]/.n->0.x∈Reals]]

Table[Function[x,Evaluate@Factor@LinearRecurrence[{1,2 x,x^2},{1,1+4 x,1+6 x+3 x^2},{n}][[1]]][x],{n,k0,20}]

FullSimplify[%-poly]

IndependenceRatio

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["IndependenceRatio"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"IndependenceRatio"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

Table[Floor[2 n/3]/(2n),{n,3,25}]

IndependentEdgeSetCount

A192742

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["IndependentEdgeSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"IndependentEdgeSetCount"],{n,3,25}]

Table[RootSum[1+#-3 #^2-3 #^3+#^4&,#^n&],{n,3,25}]

IndependentVertexSetCount

A286910

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["IndependentVertexSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"IndependentVertexSetCount"],{n,3,25}]

FindLinearRecurrence[seq]

seq=LinearRecurrence[{1,2,1},{1,5,10},20]

FindSequenceFunction[seq,n]

FindSequenceFunction[{1,5,10,21,46,98,211,453,973,2090,4489,9642,20710,44483,95545,205221,440794,946781,2033590,4367946},n]

Table[RootSum[-1-2 #-((#)^2)+((#)^3)&,#^n&],{n,20}]

RootSum[-1-2 #-((#)^2)+((#)^3)&,#^Range[20]&]

gf=x FindGeneratingFunction[seq,x]

IntersectionNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["IntersectionNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"IntersectionNumber"],{n,3,25}]

IrredundantSetCount

A290510

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["IrredundantSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"IrredundantSetCount"],{n,3,25}]

(seq=Table[Length[IrredundantSets[AntiprismGraph[n]]],{n,3,9}])//Timing

seq=Import["https://oeis.org/A290510/b290510.txt","Table"][[All,2]];

coef=FindLinearRecurrence[DeleteMissing@seq]

Take[seq,Length@coef]

gf=x FindGeneratingFunction[DeleteMissing@seq,x]

Series[gf=x*(1+4*x+15*x^2-30*x^4-60*x^5+48*x^7+90*x^8-10*x^9-22*x^10-60*x^11+15*x^14)/((1-x)*(1+x+x^2)*(1-x-2*x^2-4*x^3-x^4+4*x^5+6*x^6-x^7-2*x^8-4*x^9+x^12)),{x,0,20}]

res=Refine[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>0&&Element[n,Integers]]

terms=List@@((((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1])^9)))/((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]) (Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]))+(((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^(2+n)) (-12-8 Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]-5 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^2)+36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^3)+28 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^4)-8 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^5)-36 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^6)-20 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^7)-11 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^8)+12 ((Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])^9)))/((-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,1]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,2]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,3]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,4]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,5]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,6]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,7]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,8]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,9]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,10]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12]) (-Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,11]+Root[1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&,12])));

N[terms/.n->-2]//Chop

approx=RootApproximant[N[exact=terms/.n->-2,200],12]

pos=approx[[All,-2]]

N[approx-exact,200]

f1=1-4 ((#1)^3)-2 ((#1)^4)-((#1)^5)+6 ((#1)^6)+4 ((#1)^7)-((#1)^8)-4 ((#1)^9)-2 ((#1)^10)-((#1)^11)+((#1)^12)&;
f2=1-5 #1-6 ((#1)^2)+8 ((#1)^3)+3 ((#1)^4)-36 ((#1)^5)+18 ((#1)^6)+3 ((#1)^7)-6 ((#1)^8)-4 ((#1)^9)-4 ((#1)^10)+((#1)^12)&;

an=ToNumberField[Root[f2,pos[[#]]],Root[f1,#]]&/@Range[Length[pos]];

Equal@@Last/@an

RootSum[f1,Evaluate[((#)^(n+Range[Length[pos]]+1)).an[[1,2]]]&]

FullSimplify[1+(((((-1))^((2 (2+n))/3)) (-2+(((-1))^(1/3)))+(2+(((-1))^(2/3))) (E^(-(2/3) I n π)))/(1+(((-1))^(1/3)))),n∈Integers&&n>0]

{22,37,76,194,491,1125,2731,6640}

Table[1+2 Cos[((2 n π)/3)]-RootSum[1-4 ((#)^3)-2 ((#)^4)-((#)^5)+6 ((#)^6)+4 ((#)^7)-((#)^8)-4 ((#)^9)-2 ((#)^10)-((#)^11)+((#)^12)&,-4 ((#)^(n+3))-2 ((#)^(n+4))-((#)^(n+5))+6 ((#)^(n+6))+4 ((#)^(n+7))-((#)^(n+8))-4 ((#)^(n+9))-2 ((#)^(n+10))-((#)^(n+11))+((#)^(n+12))&],{n,20}]

KirchhoffIndex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["KirchhoffIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"KirchhoffIndex"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

FindGeneratingFunction[seq,x]

(seq=Table[KirchhoffIndex[AntiprismGraph[n]],{n,3,50}])//Timing

FindLinearRecurrence[seq]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

KirchhoffSumIndex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["KirchhoffSumIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"KirchhoffSumIndex"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

FindGeneratingFunction[seq,x]

LaplacianPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["LaplacianPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"LaplacianPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

coef=Factor/@FindPolynomialRecurrence[poly,6]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

Table[n x(3x+2)-2x^2+1,{n,10}]

FullSimplify[%-poly]

LeafCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["LeafCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"LeafCount"],{n,3,25}]

Likelihood

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Likelihood"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Likelihood"],{n,3,25}]

LongestCycleCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["LongestCycleCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"LongestCycleCount"],{n,3,25}]

Same as HamiltonianCycleCount

LovaszNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["LovaszNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"LovaszNumber"],{n,3,25}]

LucasCube

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["LucasCube"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"LucasCube"],{n,3,25}]

MatchingGeneratingPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MatchingGeneratingPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MatchingGeneratingPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

CoefficientList[Take[poly,5],x]

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

Simplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

Simplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>2]

Table[Function[x,Evaluate@Factor[LinearRecurrence[{1+2 x,x (2+x),-x^2 (-1+2 x),-x^4},{1+2 x,1+8 x+6 x^2,1+12 x+30 x^2+8 x^3,1+16 x+72 x^2+88 x^3+14 x^4},{n}][[1]]]][x],{n,k0,20}]

FullSimplify[%-poly]

MatchingNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MatchingNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MatchingNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

MatchingPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MatchingPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MatchingPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}]

Table[Function[x,Evaluate@Factor[LinearRecurrence[{-2+x^2,1-2 x^2,2+x^2,-1},{-2+x^2,6-8 x^2+x^4,-8+30 x^2-12 x^4+x^6,14-88 x^2+72 x^4-16 x^6+x^8},{n}][[1]]]][x],{n,k0,20}]

FullSimplify[%-poly]

MaximalCliqueCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximalCliqueCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximalCliqueCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-3]

MaximalCliquePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximalCliquePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximalCliquePolynomial"],{n,k0=3,20}]/.f_Function:>f[x])//Column

Table[Function[x,Piecewise[{{8x^3,n==3}},2n x^3]][x],{n,3,25}]

MaximalIndependencePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximalIndependencePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximalIndependencePolynomial"],{n,k0=3,20}]/.f_Function:>f[x])//Column

coef=FindLinearRecurrence[poly]

MaximalIndependentEdgeSetCount

A284701

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximalIndependentEdgeSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximalIndependentEdgeSetCount"],{n,3,25}]

seq={2,6,14,46,137,354,905,2366,6278,16681,44156,116650,308180,814645,2153984,5695102,15056494,39804582,105231559,278204561,735502187,1944477640,5140687360,13590620330,35930023287,94989547620,251127430313,663914974741};

FindLinearRecurrence[seq]

LinearRecurrence[{2,1,0,3,5,1,-2,-1},{2,6,14,46,137,354,905,2366},20]

FindSequenceFunction[seq,n]

gf=x FindGeneratingFunction[seq,x]

soln=Simplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>0]//Timing

N[List@@soln/.n->0]//Chop

Table[RootSum[1+2 #-((#)^2)-5 ((#)^3)-3 ((#)^4)-((#)^6)-2 ((#)^7)+((#)^8)&,#^n&],{n,10}]

MaximalIndependentVertexSetCount

A290593

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximalIndependentVertexSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximalIndependentVertexSetCount"],{n,3,25}]

FindLinearRecurrence[seq]

LinearRecurrence[{1,1,0,1},{3,12,15,31},20]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-3]

FindSequenceFunction[{0,4,3,12,15,31,49,92,156,279,484,855,1495,2629,4608,8092,14195,24916,43719,76727},n]

Table[2(((-1))^n)+RootSum[-1+#-2 ((#)^2)+((#)^3)&,#^n&],{n,3,40}]

gf=(x^3)FindGeneratingFunction[seq,x]

CoefficientList[Series[((-3-9 x-4 (x^3))/(-1+x+(x^2)+(x^4))),{x,0,20}],x]

MaximalIrredundantSetCount

A291054

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximalIrredundantSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximalIrredundantSetCount"],{n,3,25}]

Head/@Table[FindLinearRecurrence[Drop[DeleteMissing@seq,k]],{k,0,2}]

FindGeneratingFunction[DeleteMissing@seq,x]//Head//Timing

MaximumCliqueCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximumCliqueCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximumCliqueCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-3]

MaximumIndependentEdgeSetCount

A022112

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximumIndependentEdgeSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximumIndependentEdgeSetCount"],{n,3,25}]

FindLinearRecurrence[seq]

LinearRecurrence[{1,1},{2,6},20]

FindSequenceFunction[seq,n]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

FullSimplify[%]

bug(331161): FullSimplify[5 Fibonacci[-2 + n] + 3 LucasL[-2 + n]] could return 2 LucasL[n] (difference does return 0)

exprs=FullSimplify[{5 Fibonacci[-2+n]+3 LucasL[-2+n],2LucasL[n]}]

FullSimplify[Subtract@@exprs]

Table[2LucasL[n],{n,3,25}]

2LucasL[Range[10]]

MaximumIndependentVertexSetCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximumIndependentVertexSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximumIndependentVertexSetCount"],{n,3,25}]

seq[[2;;All;;3]]

FindLinearRecurrence[seq]

FindSequenceFunction[seq,n]

FindGeneratingFunction[seq,x]

Table[Piecewise[{{3,Mod[n,3]==0},{n(2n+1)/3,Mod[n,3]==1},{2n,Mod[n,3]==2}}],{n,3,25}]

%==seq

MaximumIrredundantSetCount

A304567

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximumIrredundantSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximumIrredundantSetCount"],{n,3,25}]

seq[[2;;All;;3]]

seq[[3;;All;;3]]

Table[Piecewise[{{15,Mod[n,3]==0}},XXX],{n,3,25}]

gf=(x^3) FindGeneratingFunction[DeleteMissing@seq,x]

MaximumLeafNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximumLeafNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximumLeafNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

MaximumVertexDegree

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MaximumVertexDegree"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MaximumVertexDegree"],{n,3,25}]

MeanDistance

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MeanDistance"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MeanDistance"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

MinimalDominatingSetCount

A290377

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimalDominatingSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimalDominatingSetCount"],{n,3,25}]

seq=Import["https://oeis.org/A290377/b290377.txt","Table"][[All,2]]

coef=FindLinearRecurrence[DeleteMissing@seq]

Take[seq,Length[coef]]

LinearRecurrence[{0,2,5,1,-5,-8,1,6,10,-2,-2,-5,0,0,1},{0,4,15,12,25,55,112,188,438,789,1573,3135,5980,11848,23035},{3,20}]

LinearRecurrence[{0,2,5,1,-5,-8,1,6,10,-2,-2,-5,0,0,1},{0,4,15,12,25,55,112,188,438,789,1573,3135,5980,11848,23035},{3}]

RSolve[Append[Table[a[k+2]==seq[[k]],{k,Length[coef]}],a[n]==Sum[coef[[k]]a[n-k],{k,Length[coef]}]],a[n],n]

(hangs)

FindSequenceFunction[DeleteMissing@seq,n-2]

gf=x FindGeneratingFunction[seq,x]

gf=x FindGeneratingFunction[Take[seq,20],x]

gf=x FindGeneratingFunction[Take[seq,30],x]

Series[gf=x^2*(4+15*x+4*x^2-25*x^3-48*x^4+7*x^5+48*x^6+90*x^7-20*x^8-22*x^9-60*x^10+15*x^13)/(1-2*x^2-5*x^3-x^4+5*x^5+8*x^6-x^7-6*x^8-10*x^9+2*x^10+2*x^11+5*x^12-x^15),{x,0,20}]

res=Refine[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>1]

terms=List@@res;

approx=RootApproximant[N[exact=terms/.n->-2,200],15]

pos=approx[[All,-2]]

N[approx-exact,200]

f1=-1+5 ((#1)^3)+2 ((#1)^4)+2 ((#1)^5)-10 ((#1)^6)-6 ((#1)^7)-((#1)^8)+8 ((#1)^9)+5 ((#1)^10)-((#1)^11)-5 ((#1)^12)-2 ((#1)^13)+((#1)^15)&;
f2=-1+4 #1-2 ((#1)^2)+5 ((#1)^3)-7 ((#1)^4)+23 ((#1)^5)+12 ((#1)^6)+((#1)^7)-18 ((#1)^8)+50 ((#1)^9)+6 ((#1)^10)-14 ((#1)^11)-5 ((#1)^12)-4 ((#1)^13)+((#1)^15)&;

Table[Sum[((Root[f1,k])^(n+3))Root[f2,pos[[k]]],{k,Length[pos]}],{n,10}]//N//Chop

Take[seq,10]

(an=ToNumberField[Root[f2,pos[[1]]],Root[f1,1]])//Timing

an=AlgebraicNumber[Root[-1+5 #1^3+2 #1^4+2 #1^5-10 #1^6-6 #1^7-#1^8+8 #1^9+5 #1^10-#1^11-5 #1^12-2 #1^13+#1^15&,1],{0,5,2,2,-10,-6,-1,8,5,-1,-5,-2,0,1,0}];

an[[2]]

RootSum[f1,Evaluate[((#)^(n+Range[Length[pos]]+2)).an[[2]]]&]

Table[RootSum[-1+5 ((#)^3)+2 ((#)^4)+2 ((#)^5)-10 ((#)^6)-6 ((#)^7)-((#)^8)+8 ((#)^9)+5 ((#)^10)-((#)^11)-5 ((#)^12)-2 ((#)^13)+((#)^15)&,5 ((#)^(4+n))+2 ((#)^(5+n))+2 ((#)^(6+n))-10 ((#)^(7+n))-6 ((#)^(8+n))-((#)^(9+n))+8 ((#)^(10+n))+5 ((#)^(11+n))-((#)^(12+n))-5 ((#)^(13+n))-2 ((#)^(14+n))+((#)^(16+n))&],{n,40}]//Timing

seq1=Table[RootSum[-1+5 ((#)^3)+2 ((#)^4)+2 ((#)^5)-10 ((#)^6)-6 ((#)^7)-((#)^8)+8 ((#)^9)+5 ((#)^10)-((#)^11)-5 ((#)^12)-2 ((#)^13)+((#)^15)&,5 ((#)^(4+n))+2 ((#)^(5+n))+2 ((#)^(6+n))-10 ((#)^(7+n))-6 ((#)^(8+n))-((#)^(9+n))+8 ((#)^(10+n))+5 ((#)^(11+n))-((#)^(12+n))-5 ((#)^(13+n))-2 ((#)^(14+n))+((#)^(16+n))&],{n,100}];//Timing

seq2=LinearRecurrence[{0,2,5,1,-5,-8,1,6,10,-2,-2,-5,0,0,1},{4,15,12,25,55,112,188,438,789,1573,3135,5980,11848,23035,45020},100];//Timing

seq1==seq2

MinimalDominatingSetSignature

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimalDominatingSetSignature"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimalDominatingSetSignature"],{n,3,25}]//Column

FindSequenceFunction[DeleteMissing@seq,n-2]//Factor

MinimalEdgeCoverCount

A290698

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimalEdgeCoverCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimalEdgeCoverCount"],{n,3,25}]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"EdgeCoverCount"],{n,3,25}]

seq={2,14,74,286,1157,4778,19623,80478,330293,1355629,5563527,22832914,93707772,384582275,1578347684,6477630782,26584574434,109104640685,447771795953,1837681518261,7541951930181,30952609765223,127031312347552,521343900861138};

coef=FindLinearRecurrence[DeleteMissing@seq]

Take[seq,Length@coef]

LinearRecurrence[{2,5,12,11,5,-3,-4,-1,1},{2,14,74,286,1157,4778,19623,80478,330293},20]

FindSequenceFunction[DeleteMissing@seq,n]

gf=x FindGeneratingFunction[seq,x]

CoefficientList[Series[((-2-10 x-36 (x^2)-44 (x^3)-25 (x^4)+18 (x^5)+28 (x^6)+8 (x^7)-9 (x^8))/(-1+2 x+5 (x^2)+12 (x^3)+11 (x^4)+5 (x^5)-3 (x^6)-4 (x^7)-(x^8)+(x^9))),{x,0,20}],x]

res=Refine[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>0]

part1=FullSimplify[(((((-1))^((2 (2+n))/3)) (-2+(((-1))^(1/3)))+(2+(((-1))^(2/3))) (E^(-(2/3) I n π)))/(1+(((-1))^(1/3)))),n∈Integers&&n>0]

terms=List@@((((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1])^n) (2+6 Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]-6 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1])^2)-24 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1])^3)-15 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1])^4)-18 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1])^5)+7 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1])^6)))/((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]))+(((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2])^n) (2+6 Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]-6 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2])^2)-24 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2])^3)-15 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2])^4)-18 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2])^5)+7 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2])^6)))/((-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]))+(((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3])^n) (2+6 Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]-6 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3])^2)-24 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3])^3)-15 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3])^4)-18 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3])^5)+7 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3])^6)))/((-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]))+(((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4])^n) (2+6 Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]-6 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4])^2)-24 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4])^3)-15 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4])^4)-18 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4])^5)+7 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4])^6)))/((-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]))+(((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5])^n) (2+6 Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]-6 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5])^2)-24 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5])^3)-15 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5])^4)-18 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5])^5)+7 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5])^6)))/((-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]))+(((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6])^n) (2+6 Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]-6 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6])^2)-24 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6])^3)-15 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6])^4)-18 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6])^5)+7 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6])^6)))/((-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]) (Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]))+(((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7])^n) (2+6 Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]-6 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7])^2)-24 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7])^3)-15 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7])^4)-18 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7])^5)+7 ((Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7])^6)))/((-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,1]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,2]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,3]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,4]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,5]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7]) (-Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,6]+Root[-1+2 #1+3 ((#1)^2)-2 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-3 ((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,7])));

N[terms/.n->0]//Chop

terms[[All,1]]

Table[2 Cos[((2 n π)/3)]+RootSum[-1+2 #+3 ((#)^2)-2 ((#)^3)-6 ((#)^4)-3 ((#)^5)-3 ((#)^6)+((#)^7)&,#^n&],{n,20}]

MinimalTotalDominatingSetCount

A302763

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimalTotalDominatingSetCount"]

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimalTotalDominatingSetCount"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimalTotalDominatingSetCount"],{n,3,25}]

Table[RootSum[-1+2 #1+((#1)^2)-3 ((#1)^3)+13 ((#1)^4)+7 ((#1)^5)-7 ((#1)^6)+17 ((#1)^7)+7 ((#1)^8)-2 ((#1)^9)+4 ((#1)^10)-23 ((#1)^11)-37 ((#1)^12)-8 ((#1)^13)+11 ((#1)^14)+11 ((#1)^15)+23 ((#1)^16)+12 ((#1)^17)-8 ((#1)^18)-5 ((#1)^19)-4 ((#1)^20)-2 ((#1)^21)+((#1)^23)&,((#1)^n)&],{n,3,25}]

MinimumCliqueCoveringCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimumCliqueCoveringCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimumCliqueCoveringCount"],{n,3,25}]

DeleteCases[seq,_Missing][[1;;All;;2]]

MinimumConnectedDominatingSetCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimumConnectedDominatingSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimumConnectedDominatingSetCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[DeleteCases[seq,_Missing],n-2]//FullSimplify

4Binomial[n,2]

MinimumDistinguishingLabelingCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimumDistinguishingLabelingCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimumDistinguishingLabelingCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[DeleteCases[seq,_Missing],n-2]

FindGeneratingFunction[DeleteCases[seq,_Missing],x]

MinimumDominatingSetCount

A304568

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimumDominatingSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimumDominatingSetCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

seq[[3;;All;;5]]

seq[[4;;All;;5]]

seq[[5;;All;;5]]

seq[[6;;All;;5]]

seq[[7;;All;;5]]

Table[Piecewise[{{5,Mod[n,5]==0}},XXX],{n,3,25}]

gf=(x^3)FindGeneratingFunction[seq,x]

MinimumEdgeCoverCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimumEdgeCoverCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimumEdgeCoverCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[DeleteCases[seq,_Missing],n-2]//FullSimplify

Table[2LucasL[n],{n,3,25}]

MinimumTotalDominatingSetCount

A302652

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimumTotalDominatingSetCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimumTotalDominatingSetCount"],{n,3,25}]

Table[%152,{n,3,25}]

MinimumVertexCoverCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimumVertexCoverCount"]

Same as MaximumIndependentVertexSetCount

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimumVertexCoverCount"],{n,3,25}]

Table[Piecewise[{{3,Mod[n,3]==0},{n(2n+1)/3,Mod[n,3]==1},{2n,Mod[n,3]==2}}],{n,3,25}]

%==seq

MinimumVertexDegree

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MinimumVertexDegree"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MinimumVertexDegree"],{n,3,25}]

MolecularTopologicalIndex

A192791

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["MolecularTopologicalIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"MolecularTopologicalIndex"],{n,3,25}]

FindLinearRecurrence[seq]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Nonhamiltonian

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Nonhamiltonian"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Nonhamiltonian"],{n,3,25}]

OddChordlessCycleCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["OddChordlessCycleCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"OddChordlessCycleCount"],{n,3,25}]

{{17,2},{19,3094},{21,3366}}[[All,2]]//Total

{{19,288},{21,12012},{23,792}}[[All,2]]//Total

FindSequenceFunction[Rest[DeleteCases[seq,_Missing]],n-3]

gf=(x^3)FindGeneratingFunction[DeleteCases[seq,_Missing],x]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>2]

Table[(1/2)(RootSum[-1+#-2 ((#)^2)+((#)^3)&,#^n&]-RootSum[-1+#+2 ((#)^2)+((#)^3)&,#^n&]),{n,3,25}]

Table[(1/2) (((Root[-1+#1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)&,1])^n)+((Root[-1+#1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)&,2])^n)+((Root[-1+#1-2 ((#1)^2)+((#1)^3)&,3])^n)-((Root[-1+#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)&,1])^n)-((Root[-1+#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)&,2])^n)-((Root[-1+#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)&,3])^n)),{n,3,25}]//FullSimplify

OddChordlessCyclePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["OddChordlessCyclePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"OddChordlessCyclePolynomial"],{n,k0=3,20}]/.f_Function:>f[x])//Column

FindLinearRecurrence[Rest@poly]

PathCount

A287988

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["PathCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"PathCount"],{n,3,25}]

seq=LinearRecurrence[coef={10,-37,64,-58,36,-26,16,-5,2,-1},{2,56,396,2040,9130,37944,151172,586608,2235618,8407640},30]

FindLinearRecurrence[DeleteMissing@seq]

FindSequenceFunction[DeleteMissing@seq,n]

RSolve[Append[Table[a[i]==seq[[i]],{i,Length[coef]}],a[n]==Sum[coef[[i]]a[n-i],{i,Length[coef]}]],a[n],n]

gf=x FindGeneratingFunction[DeleteMissing@seq,x]

gf=((2 x (1-2 x-(x^2)) (1+20 x-4 (x^2)+24 (x^3)+(x^4)+4 (x^5)+2 (x^6)))/((((1-x))^4) (((1-3 x-(x^2)-(x^3)))^2)));

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{x,0,n}],n>0]

FullSimplify[{Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,3] Root[-47+78 #1-88 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,2],Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,2] Root[-47+78 #1-88 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,3],((Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,1])^2) Root[-47+70 #1+132 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,1]}]

Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,2]^4//RootReduce

Table[n (-7-n (3+2 n)+((Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,3])^n)Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,3]+((Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,2])^n)Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,2]+((Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,1])^n)Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,1]),{n,10}]//FullSimplify

{Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,3],Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,2],Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,1]}/{Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,2],Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,3],Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,1]}//FullSimplify

Table[((Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,3])^n)Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,3]+((Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,2])^n)Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,2]+((Root[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,1])^n)Root[-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&,1],{n,10}]//FullSimplify

f1=-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&;

f2=-47+146 #1-220 ((#1)^2)+44 ((#1)^3)&;

an=ToNumberField[Root[f2, #], Root[f1, #]]&/@Range[3];

coeffs=Last/@an

SameQ@@coeffs

g= (coeffs[[1]].{1, #, #^2})#^n;

(ee=RootSum[f1, Evaluate[g]&])//FullSimplify

Table[%,{n,10}]//Round

FullSimplify[n (-7-n (3+2 n)+(1/44) RootSum[-1-#1-3 ((#1)^2)+((#1)^3)&,23 ((#1)^n)+32 ((#1)^(1+n))+5 ((#1)^(2+n))&])]//Expand

Table[n RootSum[-1-#-3 ((#)^2)+((#)^3)&,23 ((#)^n)+32 ((#)^(n+1))+5 ((#)^(n+2))&]/44-7 n-3 (n^2)-2 (n^3),{n,20}]

PathPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["PathPolynomial"]

(poly=Factor[Table[GraphData[{"Antiprism",n},"PathPolynomial"],{n,k0=3,kmax=20}]/.f_Function:>f[x]])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[DeleteMissing@poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

poly2=Table[XXX,{n,k0,kmax}]

FullSimplify[poly2-poly]

Pell

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Pell"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Pell"],{n,3,25}]

PentagonCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["PentagonCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"PentagonCount"],{n,3,25}]

Table[Piecewise[{{24,n==3||n==4},{12,n==5},{2 n,n>5}}],{n,3,25}]

%==seq

ProjectivePlaneCrossingNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ProjectivePlaneCrossingNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ProjectivePlaneCrossingNumber"],{n,3,25}]

Radius

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Radius"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Radius"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Table[Floor[(n+1)/2],{n,3,25}]

%==seq

RankPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["RankPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"RankPolynomial"][x,y],{n,k0=3,5}])//Column

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"RankPolynomial"][x,y],{n,k0=3,20}]);

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}]

poly2=Table[LinearRecurrence[{1+6 x+16 x^2+8 x^2 y+2 x^2 y^2,-x (2+19 x+62 x^2+80 x^3+6 x y+34 x^2 y+76 x^3 y+2 x y^2+10 x^2 y^2+36 x^3 y^2+8 x^3 y^3+x^3 y^4),x^2 (1+16 x+78 x^2+164 x^3+130 x^4+10 x y+70 x^2 y+180 x^3 y+164 x^4 y+4 x y^2+35 x^2 y^2+102 x^3 y^2+98 x^4 y^2+6 x^2 y^3+26 x^3 y^3+28 x^4 y^3+x^2 y^4+4 x^3 y^4+4 x^4 y^4),-x^4 (3+30 x+101 x^2+150 x^3+80 x^4+4 y+48 x y+168 x^2 y+256 x^3 y+136 x^4 y+2 y^2+34 x y^2+125 x^2 y^2+194 x^3 y^2+102 x^4 y^2+10 x y^3+42 x^2 y^3+68 x^3 y^3+36 x^4 y^3+2 x y^4+8 x^2 y^4+12 x^3 y^4+6 x^4 y^4),x^6 (1+x)^2 (1+2 x) (1+y)^2 (3+8 x+2 y+6 x y+y^2+2 x y^2),-x^8 (1+x)^4 (1+y)^4},{(((1+y))^2) (1+x (2+y)),1+2 x (4+y)+(x^2) (26+20 y+5 (y^2))+(x^3) (36+65 y+56 (y^2)+28 (y^3)+8 (y^4)+(y^5)),1+12 x+(x^2) (66+8 y)+(x^3) (212+87 y+12 (y^2))+2 (x^4) (204+198 y+92 (y^2)+24 (y^3)+3 (y^4))+(x^5) (384+740 y+744 (y^2)+489 (y^3)+220 (y^4)+66 (y^5)+12 (y^6)+(y^7)),1+16 x+120 (x^2)+552 (x^3)+1706 (x^4)+3616 (x^5)+4988 (x^6)+3528 (x^7)+8 (x^2) y+114 (x^3) y+744 (x^4) y+2888 (x^5) y+6856 (x^6) y+7997 (x^7) y+8 (x^3) (y^2)+132 (x^4) (y^2)+1048 (x^5) (y^2)+4677 (x^6) (y^2)+9432 (x^7) (y^2)+8 (x^4) (y^3)+196 (x^5) (y^3)+1992 (x^6) (y^3)+7452 (x^7) (y^3)+16 (x^5) (y^4)+556 (x^6) (y^4)+4272 (x^7) (y^4)+96 (x^6) (y^5)+1812 (x^7) (y^5)+8 (x^6) (y^6)+560 (x^7) (y^6)+120 (x^7) (y^7)+16 (x^7) (y^8)+(x^7) (y^9),1+20 x+190 (x^2)+1130 (x^3)+4665 (x^4)+13992 (x^5)+30920 (x^6)+49520 (x^7)+53435 (x^8)+30250 (x^9)+10 (x^2) y+180 (x^3) y+1502 (x^4) y+7635 (x^5) y+26120 (x^6) y+62125 (x^7) y+98400 (x^8) y+81475 (x^9) y+10 (x^3) (y^2)+205 (x^4) (y^2)+1870 (x^5) (y^2)+10190 (x^6) (y^2)+37150 (x^7) (y^2)+89931 (x^8) (y^2)+112620 (x^9) (y^2)+10 (x^4) (y^3)+220 (x^5) (y^3)+2150 (x^6) (y^3)+13115 (x^7) (y^3)+52490 (x^8) (y^3)+104300 (x^9) (y^3)+10 (x^5) (y^4)+235 (x^6) (y^4)+2840 (x^7) (y^4)+21315 (x^8) (y^4)+71330 (x^9) (y^4)+10 (x^6) (y^5)+355 (x^7) (y^5)+6170 (x^8) (y^5)+37515 (x^9) (y^5)+20 (x^7) (y^6)+1245 (x^8) (y^6)+15344 (x^9) (y^6)+160 (x^8) (y^7)+4835 (x^9) (y^7)+10 (x^8) (y^8)+1140 (x^9) (y^8)+190 (x^9) (y^9)+20 (x^9) (y^10)+(x^9) (y^11),1+24 x+276 (x^2)+2012 (x^3)+10362 (x^4)+39756 (x^5)+116672 (x^6)+264312 (x^7)+459192 (x^8)+594000 (x^9)+527328 (x^10)+248832 (x^11)+12 (x^2) y+264 (x^3) y+2736 (x^4) y+17618 (x^5) y+78252 (x^6) y+251535 (x^7) y+596368 (x^8) y+1034658 (x^9) y+1232724 (x^10) y+786960 (x^11) y+12 (x^3) (y^2)+306 (x^4) (y^2)+3528 (x^5) (y^2)+24408 (x^6) (y^2)+113028 (x^7) (y^2)+369786 (x^8) (y^2)+873312 (x^9) (y^2)+1428589 (x^10) (y^2)+1263972 (x^11) (y^2)+12 (x^4) (y^3)+336 (x^5) (y^3)+4096 (x^6) (y^3)+29130 (x^7) (y^3)+136860 (x^8) (y^3)+456344 (x^9) (y^3)+1068096 (x^10) (y^3)+1355130 (x^11) (y^3)+12 (x^5) (y^4)+354 (x^6) (y^4)+4404 (x^7) (y^4)+31903 (x^8) (y^4)+159480 (x^9) (y^4)+567894 (x^10) (y^4)+1077328 (x^11) (y^4)+12 (x^6) (y^5)+360 (x^7) (y^5)+4584 (x^8) (y^5)+37866 (x^9) (y^5)+224232 (x^10) (y^5)+668211 (x^11) (y^5)+12 (x^7) (y^6)+366 (x^8) (y^6)+5932 (x^9) (y^6)+66702 (x^10) (y^6)+331284 (x^11) (y^6)+12 (x^8) (y^7)+558 (x^9) (y^7)+14796 (x^10) (y^7)+132250 (x^11) (y^7)+24 (x^9) (y^8)+2346 (x^10) (y^8)+42264 (x^11) (y^8)+240 (x^10) (y^9)+10614 (x^11) (y^9)+12 (x^10) (y^10)+2024 (x^11) (y^10)+276 (x^11) (y^11)+24 (x^11) (y^12)+(x^11) (y^13)},{n}][[1]],{n,k0,20}];

poly2=Table[LinearRecurrence[{1+6 x+16 x^2+8 x^2 y+2 x^2 y^2,-x (2+19 x+62 x^2+80 x^3+6 x y+34 x^2 y+76 x^3 y+2 x y^2+10 x^2 y^2+36 x^3 y^2+8 x^3 y^3+x^3 y^4),x^2 (1+16 x+78 x^2+164 x^3+130 x^4+10 x y+70 x^2 y+180 x^3 y+164 x^4 y+4 x y^2+35 x^2 y^2+102 x^3 y^2+98 x^4 y^2+6 x^2 y^3+26 x^3 y^3+28 x^4 y^3+x^2 y^4+4 x^3 y^4+4 x^4 y^4),-x^4 (3+30 x+101 x^2+150 x^3+80 x^4+4 y+48 x y+168 x^2 y+256 x^3 y+136 x^4 y+2 y^2+34 x y^2+125 x^2 y^2+194 x^3 y^2+102 x^4 y^2+10 x y^3+42 x^2 y^3+68 x^3 y^3+36 x^4 y^3+2 x y^4+8 x^2 y^4+12 x^3 y^4+6 x^4 y^4),x^6 (1+x)^2 (1+2 x) (1+y)^2 (3+8 x+2 y+6 x y+y^2+2 x y^2),-x^8 (1+x)^4 (1+y)^4},{(1+y)^2 (1+x (2+y)),1+2 x (4+y)+x^2 (26+20 y+5 y^2)+x^3 (36+65 y+56 y^2+28 y^3+8 y^4+y^5),1+12 x+x^2 (66+8 y)+x^3 (212+87 y+12 y^2)+2 x^4 (204+198 y+92 y^2+24 y^3+3 y^4)+x^5 (384+740 y+744 y^2+489 y^3+220 y^4+66 y^5+12 y^6+y^7),1+16 x+120 x^2+552 x^3+1706 x^4+3616 x^5+4988 x^6+3528 x^7+8 x^2 y+114 x^3 y+744 x^4 y+2888 x^5 y+6856 x^6 y+7997 x^7 y+8 x^3 y^2+132 x^4 y^2+1048 x^5 y^2+4677 x^6 y^2+9432 x^7 y^2+8 x^4 y^3+196 x^5 y^3+1992 x^6 y^3+7452 x^7 y^3+16 x^5 y^4+556 x^6 y^4+4272 x^7 y^4+96 x^6 y^5+1812 x^7 y^5+8 x^6 y^6+560 x^7 y^6+120 x^7 y^7+16 x^7 y^8+x^7 y^9,1+20 x+190 x^2+1130 x^3+4665 x^4+13992 x^5+30920 x^6+49520 x^7+53435 x^8+30250 x^9+10 x^2 y+180 x^3 y+1502 x^4 y+7635 x^5 y+26120 x^6 y+62125 x^7 y+98400 x^8 y+81475 x^9 y+10 x^3 y^2+205 x^4 y^2+1870 x^5 y^2+10190 x^6 y^2+37150 x^7 y^2+89931 x^8 y^2+112620 x^9 y^2+10 x^4 y^3+220 x^5 y^3+2150 x^6 y^3+13115 x^7 y^3+52490 x^8 y^3+104300 x^9 y^3+10 x^5 y^4+235 x^6 y^4+2840 x^7 y^4+21315 x^8 y^4+71330 x^9 y^4+10 x^6 y^5+355 x^7 y^5+6170 x^8 y^5+37515 x^9 y^5+20 x^7 y^6+1245 x^8 y^6+15344 x^9 y^6+160 x^8 y^7+4835 x^9 y^7+10 x^8 y^8+1140 x^9 y^8+190 x^9 y^9+20 x^9 y^10+x^9 y^11,1+24 x+276 x^2+2012 x^3+10362 x^4+39756 x^5+116672 x^6+264312 x^7+459192 x^8+594000 x^9+527328 x^10+248832 x^11+12 x^2 y+264 x^3 y+2736 x^4 y+17618 x^5 y+78252 x^6 y+251535 x^7 y+596368 x^8 y+1034658 x^9 y+1232724 x^10 y+786960 x^11 y+12 x^3 y^2+306 x^4 y^2+3528 x^5 y^2+24408 x^6 y^2+113028 x^7 y^2+369786 x^8 y^2+873312 x^9 y^2+1428589 x^10 y^2+1263972 x^11 y^2+12 x^4 y^3+336 x^5 y^3+4096 x^6 y^3+29130 x^7 y^3+136860 x^8 y^3+456344 x^9 y^3+1068096 x^10 y^3+1355130 x^11 y^3+12 x^5 y^4+354 x^6 y^4+4404 x^7 y^4+31903 x^8 y^4+159480 x^9 y^4+567894 x^10 y^4+1077328 x^11 y^4+12 x^6 y^5+360 x^7 y^5+4584 x^8 y^5+37866 x^9 y^5+224232 x^10 y^5+668211 x^11 y^5+12 x^7 y^6+366 x^8 y^6+5932 x^9 y^6+66702 x^10 y^6+331284 x^11 y^6+12 x^8 y^7+558 x^9 y^7+14796 x^10 y^7+132250 x^11 y^7+24 x^9 y^8+2346 x^10 y^8+42264 x^11 y^8+240 x^10 y^9+10614 x^11 y^9+12 x^10 y^10+2024 x^11 y^10+276 x^11 y^11+24 x^11 y^12+x^11 y^13},{n}][[1]],{n,k0,20}];

poly[[1]]-poly2[[1]]//Expand

Expand[poly2-poly]

RectilinearCrossingNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["RectilinearCrossingNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"RectilinearCrossingNumber"],{n,3,25}]

ReliabilityPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ReliabilityPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ReliabilityPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

poly2=Table[LinearRecurrence[{2 (-1+x)^2 (1+2 x+5 x^2),-(-1+x)^4 (1+4 x+18 x^2+24 x^3+33 x^4),2 (-1+x)^6 x^2 (2+6 x+19 x^2+18 x^3+20 x^4),-2 (-1+x)^8 x^4 (3+6 x+15 x^2+8 x^3+8 x^4),4 (-1+x)^10 x^6 (1+x+2 x^2),-(-1+x)^12 x^8},{1-x^2,1-5 x^4+2 x^6+8 x^7-6 x^8,-(-1+x)^5 (1+2 x) (1+3 x+9 x^2+17 x^3+30 x^4+36 x^5+32 x^6),-(-1+x)^7 (1+7 x+28 x^2+84 x^3+202 x^4+406 x^5+672 x^6+880 x^7+822 x^8+426 x^9),-(-1+x)^9 (1+9 x+45 x^2+165 x^3+485 x^4+1197 x^5+2508 x^6+4420 x^7+6360 x^8+7100 x^9+5572 x^10+2388 x^11),-(-1+x)^11 (1+11 x+66 x^2+286 x^3+989 x^4+2871 x^5+7150 x^6+15338 x^7+28080 x^8+43024 x^9+53456 x^10+51144 x^11+34130 x^12+12286 x^13)},{n}][[1]],{n,k0,20}]

FullSimplify[poly2-poly]

SigmaPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["SigmaPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"SigmaPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

Table[n x(3x+2)-2x^2+1,{n,10}]

FullSimplify[%-poly]

Skewness

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Skewness"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Skewness"],{n,3,25}]

SpanningTreeCount

A193127

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["SpanningTreeCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"SpanningTreeCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

FindGeneratingFunction[seq,x]

SeriesCoefficient[-((2 (-192+1308 x-2261 (x^2)+1424 (x^3)-287 (x^4)+18 (x^5)))/(((-1+8 x-8 (x^2)+(x^3)))^2))(x^3),{x,0,n}]//FullSimplify

Table[2/5 n (GoldenRatio^(4 n)+GoldenRatio^(-4 n)-2),{n,3,25}]//FullSimplify

SquareCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["SquareCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"SquareCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-4]

StabilityIndex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["StabilityIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"StabilityIndex"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

gf=(x^3)FindGeneratingFunction[seq,x]

(seq=Table[StabilityIndex[AntiprismGraph[n]],{n,3,60}])//Timing

FindSequenceFunction[seq,n-2]

coef=FindLinearRecurrence[seq]

gf=(x^3)FindGeneratingFunction[seq,x]

TopologicalIndex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["TopologicalIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"TopologicalIndex"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n]

FindGeneratingFunction[seq,x]

ToroidalCrossingNumber

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["ToroidalCrossingNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"ToroidalCrossingNumber"],{n,3,25}]

TotalDominatingSetCount

A302760

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["TotalDominatingSetCount"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"TotalDominatingSetCount"],{n,3,25}]

Table[RootSum[-1+3 ((#1)^3)-6 ((#1)^4)-((#1)^5)-3 ((#1)^6)+((#1)^7)&,((#1)^n)&],{n,3,25}]

TotalDominationNumber

A302255

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["TotalDominationNumber"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"TotalDominationNumber"],{n,3,25}]

Table[(1/7) (4+4 n+(E^((4 I n π)/7)) Root[1+7 ((#1)^2)+28 ((#1)^3)+42 ((#1)^4)+28 ((#1)^5)+7 ((#1)^6)&,1]+(E^(-(4/7) I n π)) Root[1+7 ((#1)^2)+28 ((#1)^3)+42 ((#1)^4)+28 ((#1)^5)+7 ((#1)^6)&,2]+(E^(-(2/7) I n π)) Root[1+7 ((#1)^2)+28 ((#1)^3)+42 ((#1)^4)+28 ((#1)^5)+7 ((#1)^6)&,3]+(E^((2 I n π)/7)) Root[1+7 ((#1)^2)+28 ((#1)^3)+42 ((#1)^4)+28 ((#1)^5)+7 ((#1)^6)&,4]+(E^(-(6/7) I n π)) Root[1+7 ((#1)^2)+28 ((#1)^3)+42 ((#1)^4)+28 ((#1)^5)+7 ((#1)^6)&,5]+(E^((6 I n π)/7)) Root[1+7 ((#1)^2)+28 ((#1)^3)+42 ((#1)^4)+28 ((#1)^5)+7 ((#1)^6)&,6]),{n,3,25}]//FullSimplify

Traceable

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Traceable"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Traceable"],{n,3,25}]

Triameter

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Triameter"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Triameter"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[DeleteMissing@seq,n-2]

TriangleCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["TriangleCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"TriangleCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-3]

TuttePolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["TuttePolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"TuttePolynomial"][x,y],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

FullSimplify[SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}],n>0]

poly2=Table[LinearRecurrence[{5+4 x+x^2+4 y+2 y^2,-8-14 x-9 x^2-2 x^3-12 y-10 x y-2 x^2 y-10 y^2-6 x y^2-2 x^2 y^2-4 y^3-y^4,5+14 x+14 x^2+6 x^3+x^4+10 y+16 x y+8 x^2 y+2 x^3 y+9 y^2+14 x y^2+11 x^2 y^2+4 x^3 y^2+4 y^3+6 x y^3+2 x^2 y^3+y^4+2 x y^4+x^2 y^4,-1-4 x-6 x^2-4 x^3-x^4-2 y-6 x y-6 x^2 y-2 x^3 y-y^2-8 x y^2-11 x^2 y^2-8 x^3 y^2-2 x^4 y^2-6 x y^3-4 x^2 y^3-2 x^3 y^3-2 x y^4-2 x^2 y^4-2 x^3 y^4,x^2 (1+x) y^2 (2+2 x+2 y+y^2+x y^2),-x^4 y^4},{y^2 (x+y),2 x+3 x^2+x^3+2 y+6 x y+2 x^2 y+5 y^2+5 x y^2+6 y^3+3 y^4+y^5,11 x+25 x^2+20 x^3+7 x^4+x^5+11 y+46 x y+39 x^2 y+8 x^3 y+32 y^2+52 x y^2+12 x^2 y^2+40 y^3+24 x y^3+29 y^4+6 x y^4+15 y^5+5 y^6+y^7,38 x+113 x^2+137 x^3+91 x^4+37 x^5+9 x^6+x^7+38 y+214 x y+312 x^2 y+192 x^3 y+58 x^4 y+8 x^5 y+139 y^2+377 x y^2+280 x^2 y^2+76 x^3 y^2+8 x^4 y^2+228 y^3+328 x y^3+108 x^2 y^3+8 x^3 y^3+226 y^4+164 x y^4+16 x^2 y^4+154 y^5+48 x y^5+76 y^6+8 x y^6+28 y^7+7 y^8+y^9,112 x+406 x^2+641 x^3+601 x^4+384 x^5+176 x^6+56 x^7+11 x^8+x^9+112 y+798 x y+1625 x^2 y+1610 x^3 y+955 x^4 y+372 x^5 y+90 x^6 y+10 x^7 y+504 y^2+1941 x y^2+2465 x^2 y^2+1520 x^3 y^2+545 x^4 y^2+115 x^5 y^2+10 x^6 y^2+1055 y^3+2520 x y^3+1955 x^2 y^3+690 x^3 y^3+130 x^4 y^3+10 x^5 y^3+1370 y^4+2025 x y^4+870 x^2 y^4+145 x^3 y^4+10 x^4 y^4+1233 y^5+1060 x y^5+205 x^2 y^5+10 x^3 y^5+812 y^6+365 x y^6+20 x^2 y^6+405 y^7+80 x y^7+155 y^8+10 x y^8+45 y^9+9 y^10+y^11,309 x+1310 x^2+2500 x^3+2937 x^4+2460 x^5+1584 x^6+794 x^7+299 x^8+79 x^9+13 x^10+x^11+309 y+2662 x y+6846 x^2 y+9056 x^3 y+7659 x^4 y+4668 x^5 y+2114 x^6 y+672 x^7 y+132 x^8 y+12 x^9 y+1661 y^2+8239 x y^2+14526 x^2 y^2+13632 x^3 y^2+8292 x^4 y^2+3570 x^5 y^2+1038 x^6 y^2+174 x^7 y^2+12 x^8 y^2+4244 y^3+14168 x y^3+17378 x^2 y^3+11352 x^3 y^3+4774 x^4 y^3+1324 x^5 y^3+204 x^6 y^3+12 x^7 y^3+6849 y^4+15765 x y^4+13065 x^2 y^4+5617 x^3 y^4+1494 x^4 y^4+222 x^5 y^4+12 x^6 y^4+7788 y^5+12108 x y^5+6336 x^2 y^5+1608 x^3 y^5+228 x^4 y^5+12 x^5 y^5+6588 y^6+6580 x y^6+1924 x^2 y^6+234 x^3 y^6+12 x^4 y^6+4276 y^7+2532 x y^7+330 x^2 y^7+12 x^3 y^7+2169 y^8+678 x y^8+24 x^2 y^8+869 y^9+120 x y^9+274 y^10+12 x y^10+66 y^11+11 y^12+y^13},{n}][[1]],{n,k0,20}]

FullSimplify[poly2-poly]

Untraceable

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["Untraceable"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"Untraceable"],{n,3,25}]

VertexConnectivity

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["VertexConnectivity"]

Table[GraphData[{"Antiprism",n},"VertexConnectivity"],{n,3,25}]

VertexCoverCount

A286910

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["VertexCoverCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"VertexCoverCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

Table[Root[-1+2 #1-5 ((#1)^2)+((#1)^3)&,1] ((Root[-1-2 #1-((#1)^2)+((#1)^3)&,1])^(-2+n))+Root[-1+2 #1-5 ((#1)^2)+((#1)^3)&,3] ((Root[-1-2 #1-((#1)^2)+((#1)^3)&,2])^(-2+n))+Root[-1+2 #1-5 ((#1)^2)+((#1)^3)&,2] ((Root[-1-2 #1-((#1)^2)+((#1)^3)&,3])^(-2+n)),{n,1,2}]//FullSimplify

FindSequenceFunction[{1,5,10,21,46,98,211,453,973,2090,4489,9642,20710,44483,95545,205221,440794,946781,2033590,4367946},n]

Table[RootSum[-1-2 #1-((#1)^2)+((#1)^3)&,#^n&],{n,3,25}]

VertexCoverNumber

A004772

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["VertexCoverNumber"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"VertexCoverNumber"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Table[Floor[(4n+2)/3],{n,3,25}]

%==seq

VertexCount

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["VertexCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"V"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

VertexCoverPolynomial

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["VertexCoverPolynomial"]

(poly=Factor@Table[GraphData[{"Antiprism",n},"VertexCoverPolynomial"][x],{n,k0=3,20}])//Column

coef=Factor/@FindLinearRecurrence[poly]

ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]

FormattedPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]//TraditionalForm

TeXForm[%]

LinearRecurrence[coef,poly,{2-k0,Length[coef]-k0+1}]

FullSimplify[RSolve[Prepend[Table[p[k+k0-1,x]==poly[[k]],{k,Length[coef]}],ToPolynomialRecurrence[p,x,n,coef]],p[n,x],n],n∈Integers&&n>0]

gf=Factor[(z^k0)FindGeneratingFunction[poly,z]]

SeriesCoefficient[gf,{z,0,n}]

poly2=Table[LinearRecurrence[{x^2,2 x^3,x^4},{x^2,x^3 (4+x),x^4 (3+6 x+x^2)},{n}][[1]],{n,k0,20}]

FullSimplify[poly2-poly]

VertexDegrees

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["VertexDegrees"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"VertexDegrees"],{n,3,10}]

WienerIndex

A002411

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["WienerIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"WienerIndex"],{n,3,25}]

Table[WienerIndex[AntiprismGraph[n]],{n,20}]3

Table[n^2(n+1)/2,{n,20}]

WienerSumIndex

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["WienerSumIndex"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"WienerSumIndex"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

Embeddings

<<MathWorld`Graphs`

SortBy[GraphData["Antiprism"],GraphData[#,"V"]&]

{"Antiprism", 4}

Names

GraphData[{"Antiprism",4},"StandardName"]

GraphData[{"Antiprism",4},"StandardNames"]

Primary

GraphData[{"Antiprism",4}]//StyleGraphs[#,ImageSize->Small]&

Read and Wilson construction

All

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","All"]//StyleGraphs

Inexact

Select[GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","All"],(!FreeQ[GraphEmbedding[#],_?InexactNumberQ]&)]//StyleGraphs

Embedding types

GraphDataEmbeddings[GraphData[{"Antiprism",4},"EdgeList"]]

Default embedding

GraphPlot@GraphData[{"Antiprism",4},"Edges"]

v={};
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

Degenerate

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","Degenerate"]//StyleGraphs

Bilateral

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","Bilateral"]//StyleGraphs

Circular

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","Circular"]//StyleGraphs

2-center construction

v=Join[UnitCirclePoints[6],{0,#/4}&/@{-1,1}];
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{e[{1,6},1,7,6,4,8,3,1],e[2,8,5,7,2]},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph@g

Planar

GraphData[{"Antiprism",4},"Planar"]

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","Planar"]//StyleGraphs

Tutte embeddings

faces=ReverseSort@SymmetricallyDistinctFaces[GraphData[{"Antiprism",4}]]

Tally[ReverseSort[Length/@faces]]

IGLayoutTutte[GraphData[{"Antiprism",4}],"OuterFace"->#]&/@faces

gs=Annotate[#,{VertexLabels->None,ImageSize->Tiny}]&/@{}

RecognizeGraph/@gs

Tutte embedding construction 4

GraphPlot[RotateGraph[]]

v=Join[UnitCirclePoints[4],CirclePoints[{1/4,-Pi/2},4]];
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{e[1,2,3,4,5,1,6,2,7,3,8,4,1],e[5,6,7,8,5]},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

Tutte embedding construction 3

GraphPlot[RotateGraph[,-2Pi/3]]

v={{-1,0},{-(1/4),(1/2)},{(1/4),(1/2)},{1,0},{-(1/4),1},{0,1},{(1/4),1},{0,(Sqrt[3])}};
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{{1,2},{1,4},{1,5},{1,8},{2,3},{2,5},{2,6},{3,4},{3,6},{3,7},{4,7},{4,8},{5,6},{5,8},{6,7},{7,8}},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

MinimalCrossing

GraphData[{"Antiprism",4},{"RCN","CN"}]

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","MinimalCrossing"]//StyleGraphs

Circulant

GraphData[{"Antiprism",4},"Circulant"]

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","Circulant"]//StyleGraphs

Circulant construction

CirculantGraph1[#,#2,Pi/2]&@@@CirculantIndices[GraphData[{"Antiprism",4}],All]

Halin

GraphData[{"Antiprism",4},"Halin"]

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","Halin"]//StyleGraphs

LCF

GraphData[{"Antiprism",4},"LCF"]

GraphData[{"Antiprism",4},"HamiltonianCycleCount"]

GraphData[{"Antiprism",4},"LCFSignature"]

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","LCF"]//StyleGraphs

Tally[LCFFromEmbedding[#][[2]]&/@%]

LCF compute

Length[FindHamiltonianCycle[GraphData[{"Antiprism",4}],All][[All,All,1]]]//Timing

Tally[(lcf=LCF[GraphData[{"Antiprism",4}],All])[[All,2]]]//Timing

LCFGraph@@@lcf//StyleGraphs

gs=Flatten[{
(* all LCF's with order >1, sorted by order and with bilateral graphs first *)
Join[DeleteCases[#,{_Missing,_}][[All,1]],Cases[#,{_Missing,_}][[All,2]]]&/@Map[{BilateralLCFEmbedding[#],#}&,Map[LCFGraph@@#&,SplitBy[DeleteCases[lcf,{_,1}],Last],{2}],{2}],
(* order-1 bilateral only *)
DeleteMissing[BilateralLCFEmbedding/@LCFGraph@@@Cases[lcf,{_,1}]]}]

UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",4},"UnitDistance"]

UnitDistanceGraphQ[GraphData[{"Antiprism",4}],Debug->True]//Timing

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","UnitDistance"]//StyleGraphs

UnitDistance by refinement

UnitDistanceEmbeddingRefine[Graph[GraphData[{"Antiprism",4},"VertexList"],GraphData[{"Antiprism",4},"EdgeList"]]]

UnitDistanceGraphEmbeddingQ[%]

UnitDistanceEmbeddingRefine[Annotate[#,VertexCoordinates->N[GraphEmbedding[#]]]]&/@Complement@@(GraphData[{"Antiprism",4},"Graph",#]&/@{"All","UnitDistance"})

Select[%,UnitDistanceGraphEmbeddingQ]

GraphPlot@

v=Join[UnitCirclePoints[4],CirclePoints[1/4,4]];
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{e[1,2,7,3,6,8,4,5,1,8,3,4,7,5],e[1,6,2,5]},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph@g

LabelGraph/@{RotateGraph[,{1,4}],RotateGraph[,{2,3}]}

gs={,,};

UnitDistance by FindUnitDistanceEmbedding

FindUnitDistanceEmbedding[GraphData[{"Antiprism",4}],MaxIterations->5000,"ReturnWithMessage"->True]//Timing

Matchstick

GraphData[{"Antiprism",4},"Matchstick"]

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph","Matchstick"]//StyleGraphs

3D default

Graph3D[GraphData[{"Antiprism",4},"Edges"]]

3D All

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph",{"3D","All"}]

3D UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph",{"3D","UnitDistance"}]

3D Polyhedron

GraphData[{"Antiprism",4},"Polyhedral"]

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph",{"3D","Polyhedron"}]

Graphics3D[{FaceForm[Green,Red],GraphData[{"Antiprism",4},"Polyhedron"]}]

3D Canonical

GraphData[{"Antiprism",4},"Graph",{"3D","Canonical"}]

Graphics3D[{Opacity[.5],Red,GraphData[{"Antiprism",4},"Polyhedron","Canonical"],Yellow,Sphere[]}]

3D Canonical construction

Graphics3D[{FaceForm[Green,Red],poly=GraphPolyhedron[GraphData[{"Antiprism",4}],1]}]

(can=FindCanonicalPolyhedron[poly,WorkingPrecision->50,MaxIterations->50000,PrecisionGoal->20,"ProgressInterval"->1000,"TangentFactor"->1/10,"PlanarFactor"->1/10,Debug->True])//Timing

SimplePolyhedronQ[can]

Graphics3D[{Opacity[.5],Red,can,Yellow,Sphere[]}]

(lens=Mean/@Split[Sort[PolyhedronEdgeLengths[can]],Abs[#1-#2]<1.*^-10&])//N

v=PolyhedronCoordinates[can];

colors=With[{n=Length[lens]},Table[Hue[i/n],{i,0,n-1}]]

Graphics3D[{Thick,Sequence@@Nearest[Thread[lens->colors],EuclideanDistance@@v[[#]]],Line[v[[#]]]}&/@PolyhedronEdges[can],Boxed->False]

g=PolyhedronGraph[can]

{"Antiprism", 5}

Names

GraphData[{"Antiprism",5},"StandardName"]

GraphData[{"Antiprism",5},"StandardNames"]

Primary

GraphData[{"Antiprism",5}]//StyleGraphs[#,ImageSize->Small]&

Read and Wilson construction

All

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","All"]//StyleGraphs

Inexact

Select[GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","All"],(!FreeQ[GraphEmbedding[#],_?InexactNumberQ]&)]//StyleGraphs

Default embedding

GraphPlot@GraphData[{"Antiprism",5},"Edges"]

v={};
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

Embedding types

GraphDataEmbeddings[GraphData[{"Antiprism",5},"EdgeList"]]

Degenerate

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","Degenerate"]//StyleGraphs

Bilateral

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","Bilateral"]//StyleGraphs

Circular

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","Circular"]//StyleGraphs

Planar

GraphData[{"Antiprism",5},"Planar"]

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","Planar"]//StyleGraphs

Tutte embeddings

faces=ReverseSort@SymmetricallyDistinctFaces[GraphData[{"Antiprism",5}]]

Tally[ReverseSort[Length/@faces]]

IGLayoutTutte[GraphData[{"Antiprism",5}],"OuterFace"->#]&/@faces

gs=Annotate[#,{VertexLabels->None,ImageSize->Tiny}]&/@{}

Tutte embedding construction 3

GraphPlot[RotateGraph[,-2Pi/3]]

v=Join[{{-1,0},{1,0},{0,Sqrt[3]}},{#,#2-1/8}&@@@{{-1/4,1/2},{0,1/2},{1/4,1/2},{-1/4,1},{-1/4+1/6,1},{-1/4+1/3,1},{1/4,1}}];
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{e[1,2,3,1,4,5,6,2,10,9,8,7,1],e[7,3,10,6,9,5,8,4,7]},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

g=AntiprismGraph[5,GraphLayout->"TriangularEmbedding"]

RecognizeGraph[g]

MinimalCrossing

GraphData[{"Antiprism",5},{"RCN","CN"}]

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","MinimalCrossing"]//StyleGraphs

MinimalCrossing construction

g=RotateGraph[MinimalCrossingGraph[GraphData[{"Antiprism",5}],"CrossingNumber"->-1]]

RecognizeGraph[g]

v={};
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

RectilinearCrossingCount[g]

Circulant

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","Circulant"]//StyleGraphs

Halin

GraphData[{"Antiprism",5},"Halin"]

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","Halin"]//StyleGraphs

LCF

GraphData[{"Antiprism",5},"LCF"]

GraphData[{"Antiprism",5},"LCFSignature"]

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","LCF"]//StyleGraphs

LCF compute

Length[FindHamiltonianCycle[GraphData[{"Antiprism",5}],All][[All,All,1]]]//Timing

Tally[(lcf=LCF[GraphData[{"Antiprism",5}],All])[[All,2]]]

gs=LCFGraph@@@lcf

UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",5},"UnitDistance"]

UnitDistanceGraphQ[GraphData[{"Antiprism",5}],Debug->True]//Timing

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","UnitDistance"]//StyleGraphs

UnitDistance by refinement

UnitDistanceEmbeddingRefine[Graph[GraphData[{"Antiprism",5},"VertexList"],GraphData[{"Antiprism",5},"EdgeList"]]]

UnitDistanceEmbeddingRefine[Annotate[#,VertexCoordinates->N[GraphEmbedding[#]]]]&/@Complement@@(GraphData[{"Antiprism",5},"Graph",#]&/@{"All","UnitDistance"})

gs=LabelGraph/@{RotateGraph[,{2,1}]}

UnitDistance by FindUnitDistanceEmbedding

FindUnitDistanceEmbedding[GraphData[{"Antiprism",5}],MaxIterations->5000,"ReturnWithMessage"->True]//Timing

Matchstick

GraphData[{"Antiprism",5},"Matchstick"]

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph","Matchstick"]//StyleGraphs

3D default

Graph3D[GraphData[{"Antiprism",5},"Edges"]]

3D All

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph",{"3D","All"}]

3D UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph",{"3D","UnitDistance"}]

3D Polyhedron

GraphData[{"Antiprism",5},"Polyhedral"]

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph",{"3D","Polyhedron"}]

Graphics3D[{FaceForm[Green,Red],GraphData[{"Antiprism",5},"Polyhedron"]}]

3D Canonical

GraphData[{"Antiprism",5},"Graph",{"3D","Canonical"}]

Graphics3D[{Opacity[.5],Red,GraphData[{"Antiprism",5},"Polyhedron","Canonical"],Yellow,Sphere[]}]

{"Antiprism", 6}

Names

GraphData[{"Antiprism",6},"StandardName"]

GraphData[{"Antiprism",6},"StandardNames"]

Primary

GraphData[{"Antiprism",6}]//StyleGraphs[#,ImageSize->Small]&

Read and Wilson construction

Default embedding

GraphPlot@GraphData[{"Antiprism",6},"Edges"]

v={};
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

All

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","All"]//StyleGraphs

Inexact

Select[GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","All"],(!FreeQ[GraphEmbedding[#],_?InexactNumberQ]&)]//StyleGraphs

Embedding types

GraphDataEmbeddings[GraphData[{"Antiprism",6},"EdgeList"]]

Degenerate

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","Degenerate"]//StyleGraphs

Bilateral

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","Bilateral"]//StyleGraphs

Circular

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","Circular"]//StyleGraphs

Planar

GraphData[{"Antiprism",6},"Planar"]

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","Planar"]//StyleGraphs

Tutte embeddings

faces=ReverseSort@SymmetricallyDistinctFaces[GraphData[{"Antiprism",6}]]

Tally[ReverseSort[Length/@faces]]

IGLayoutTutte[GraphData[{"Antiprism",6}],"OuterFace"->#]&/@faces

gs=Annotate[#,{VertexLabels->None,ImageSize->Tiny}]&/@{}

Tutte embedding construction 6

GraphPlot[RotateGraph[]]

RegionIntersection[Line[v[[{4,6}]]],Line[v[[{3,5}]]]]

Norm[{-(1/2),(1/(2 (Sqrt[3])))}]//FullSimplify

e[l__]:=Sequence@@Partition[{l},2,1]

v=Join[CirclePoints[Csc[Pi/6]/2,6],CirclePoints[{(1/(Sqrt[3])),-Pi/2},6]];
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{e[1,2,3,4,5,6,1,7,12,5,11,10,3,9,8,1],e[6,12,11,4,10,9,2,8,7,6]},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

Tutte embedding construction 3

GraphPlot[RotateGraph[,-2Pi/3]]

AntiprismGraph[6,GraphLayout->"TriangularEmbedding"]

RecognizeGraph[g]

RectilinearCrossingCount[g]

MinimalCrossing

GraphData[{"Antiprism",6},{"RCN","CN"}]

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","MinimalCrossing"]//StyleGraphs

Circulant

GraphData[{"Antiprism",6},"NotationRules","Circulant"]

Cases[GraphData[{"Antiprism",6},"StandardNames"],{"Circulant",_}]

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","Circulant"]//StyleGraphs

Circulant construction

CirculantGraph1@@@CirculantIndices[GraphData[{"Antiprism",6}],All]

Halin

GraphData[{"Antiprism",6},"Halin"]

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","Halin"]//StyleGraphs

LCF

GraphData[{"Antiprism",6},"LCF"]

GraphData[{"Antiprism",6},"LCFSignature"]

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","LCF"]//StyleGraphs

LCF compute

Length[FindHamiltonianCycle[GraphData[{"Antiprism",6}],All][[All,All,1]]]//Timing

Tally[(lcf=LCF[GraphData[{"Antiprism",6}],All])[[All,2]]]//Timing

LCFGraph@@@lcf//StyleGraphs

gs=Flatten[{
(* all LCF's with order >1, sorted by order and with bilateral graphs first *)
Join[DeleteCases[#,{_Missing,_}][[All,1]],Cases[#,{_Missing,_}][[All,2]]]&/@Map[{BilateralLCFEmbedding[#],#}&,Map[LCFGraph@@#&,SplitBy[DeleteCases[lcf,{_,1}],Last],{2}],{2}],
(* order-1 bilateral only *)
DeleteMissing[BilateralLCFEmbedding/@LCFGraph@@@Cases[lcf,{_,1}]]}]

UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",6},"UnitDistance"]

UnitDistanceGraphQ[GraphData[{"Antiprism",6}],Debug->True]//Timing

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","UnitDistance"]//StyleGraphs

UnitDistance by refinement

UnitDistanceEmbeddingRefine[Graph[GraphData[{"Antiprism",6},"VertexList"],GraphData[{"Antiprism",6},"EdgeList"]]]

UnitDistanceEmbeddingRefine[Annotate[#,VertexCoordinates->N[GraphEmbedding[#]]]]&/@Complement@@(GraphData[{"Antiprism",6},"Graph",#]&/@{"All","UnitDistance"})

gs={RotateGraph[,{5,6}],RotateGraph[,{5,6}],RotateGraph[,{7,10}]}

UnitDistance by FindUnitDistanceEmbedding

FindUnitDistanceEmbedding[GraphData[{"Antiprism",6}],MaxIterations->5000,"ReturnWithMessage"->True]//Timing

Matchstick

GraphData[{"Antiprism",6},"Matchstick"]

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph","Matchstick"]//StyleGraphs

3D default

Graph3D[GraphData[{"Antiprism",6},"Edges"]]

3D All

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph",{"3D","All"}]

3D UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph",{"3D","UnitDistance"}]

3D Polyhedron

GraphData[{"Antiprism",6},"Polyhedral"]

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph",{"3D","Polyhedron"}]

Graphics3D[{FaceForm[Green,Red],GraphData[{"Antiprism",6},"Polyhedron"]}]

3D Canonical

GraphData[{"Antiprism",6},"Graph",{"3D","Canonical"}]

Graphics3D[{Opacity[.5],Red,GraphData[{"Antiprism",6},"Polyhedron","Canonical"],Yellow,Sphere[]}]

{"Antiprism", 7}

Names

GraphData[{"Antiprism",7},"StandardName"]

GraphData[{"Antiprism",7},"StandardNames"]

Primary

GraphData[{"Antiprism",7}]//StyleGraphs[#,ImageSize->Small]&

Read and Wilson construction

Default embedding

GraphPlot@GraphData[{"Antiprism",7},"Edges"]

v={};
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

All

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","All"]//StyleGraphs

Inexact

Select[GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","All"],(!FreeQ[GraphEmbedding[#],_?InexactNumberQ]&)]//StyleGraphs

Embedding types

GraphDataEmbeddings[GraphData[{"Antiprism",7},"EdgeList"]]

Degenerate

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","Degenerate"]//StyleGraphs

Bilateral

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","Bilateral"]//StyleGraphs

Planar

GraphData[{"Antiprism",7},"Planar"]

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","Planar"]//StyleGraphs

Tutte embeddings

faces=ReverseSort@SymmetricallyDistinctFaces[GraphData[{"Antiprism",7}]]

Tally[ReverseSort[Length/@faces]]

IGLayoutTutte[GraphData[{"Antiprism",7}],"OuterFace"->#]&/@faces

gs=Annotate[#,{VertexLabels->None,ImageSize->Tiny}]&/@{}

MinimalCrossing

GraphData[{"Antiprism",7},{"RCN","CN"}]

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","MinimalCrossing"]//StyleGraphs

MinimalCrossing construction

g=RotateGraph[MinimalCrossingGraph[GraphData[{"Antiprism",7}],"CrossingNumber"->-1]]

Circulant

GraphData[{"Antiprism",7},"NotationRules","Circulant"]

Cases[GraphData[{"Antiprism",7},"StandardNames"],{"Circulant",_}]

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","Circulant"]//StyleGraphs

Halin

GraphData[{"Antiprism",7},"Halin"]

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","Halin"]//StyleGraphs

LCF

GraphData[{"Antiprism",7},"LCF"]

GraphData[{"Antiprism",7},"LCFSignature"]

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","LCF"]//StyleGraphs

LCF compute

Length[FindHamiltonianCycle[GraphData[{"Antiprism",7}],All][[All,All,1]]]//Timing

Tally[(lcf=LCF[GraphData[{"Antiprism",7}],All])[[All,2]]]

gs=LCFGraph@@@lcf

UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",7},"UnitDistance"]

UnitDistanceGraphQ[GraphData[{"Antiprism",7}],Debug->True]//Timing

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","UnitDistance"]//StyleGraphs

UnitDistance by refinement

UnitDistanceEmbeddingRefine[Graph[GraphData[{"Antiprism",7},"VertexList"],GraphData[{"Antiprism",7},"EdgeList"]]]

UnitDistanceEmbeddingRefine[Annotate[#,VertexCoordinates->N[GraphEmbedding[#]]]]&/@Complement@@(GraphData[{"Antiprism",7},"Graph",#]&/@{"All","UnitDistance"})

gs={RotateGraph[,{5,3}],RotateGraph[,{11,12}],RotateGraph[,{6,5}]}

UnitDistance by FindUnitDistanceEmbedding

FindUnitDistanceEmbedding[GraphData[{"Antiprism",7}],MaxIterations->5000,"ReturnWithMessage"->True]//Timing

Matchstick

GraphData[{"Antiprism",7},"Matchstick"]

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph","Matchstick"]//StyleGraphs

3D default

Graph3D[GraphData[{"Antiprism",7},"Edges"]]

3D All

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph",{"3D","All"}]

3D UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph",{"3D","UnitDistance"}]

3D Polyhedron

GraphData[{"Antiprism",7},"Polyhedral"]

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph",{"3D","Polyhedron"}]

Graphics3D[{FaceForm[Green,Red],GraphData[{"Antiprism",7},"Polyhedron"]}]

3D Canonical

GraphData[{"Antiprism",7},"Graph",{"3D","Canonical"}]

Graphics3D[{Opacity[.5],Red,GraphData[{"Antiprism",7},"Polyhedron","Canonical"],Yellow,Sphere[]}]

{"Antiprism", 8}

Names

GraphData[{"Antiprism",8},"StandardName"]

GraphData[{"Antiprism",8},"StandardNames"]

Primary

GraphData[{"Antiprism",8}]//StyleGraphs[#,ImageSize->Small]&

Read and Wilson construction

All

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","All"]//StyleGraphs

Inexact

Select[GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","All"],(!FreeQ[GraphEmbedding[#],_?InexactNumberQ]&)]//StyleGraphs

Embedding types

GraphDataEmbeddings[GraphData[{"Antiprism",8},"EdgeList"]]

Default embedding

GraphPlot@GraphData[{"Antiprism",8},"Edges"]

v={};
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

Degenerate

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","Degenerate"]//StyleGraphs

Bilateral

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","Bilateral"]//StyleGraphs

Circular

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","Circular"]//StyleGraphs

Planar

GraphData[{"Antiprism",8},"Planar"]

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","Planar"]//StyleGraphs

Tutte embeddings

faces=ReverseSort@SymmetricallyDistinctFaces[GraphData[{"Antiprism",8}]]

Tally[ReverseSort[Length/@faces]]

IGLayoutTutte[GraphData[{"Antiprism",8}],"OuterFace"->#]&/@faces

gs=Annotate[#,{VertexLabels->None,ImageSize->Tiny}]&/@{}

RecognizeGraph/@gs

Tutte embedding construction

GraphPlot[RotateGraph[]]

v=Join[];
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

MinimalCrossing

GraphData[{"Antiprism",8},{"RCN","CN"}]

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","MinimalCrossing"]//StyleGraphs

Circulant

GraphData[{"Antiprism",8},"Circulant"]

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","Circulant"]//StyleGraphs

Circulant construction

CirculantGraph1@@@CirculantIndices[GraphData[{"Antiprism",8}]]

Halin

GraphData[{"Antiprism",8},"Halin"]

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","Halin"]//StyleGraphs

LCF

GraphData[{"Antiprism",8},"LCF"]

GraphData[{"Antiprism",8},"HamiltonianCycleCount"]

GraphData[{"Antiprism",8},"LCFSignature"]

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","LCF"]//StyleGraphs

Tally[LCFNotation[#][[2]]&/@%]

LCF compute

Length[FindHamiltonianCycle[GraphData[{"Antiprism",8}],All][[All,All,1]]]//Timing

Tally[(lcf=LCF[GraphData[{"Antiprism",8}],All])[[All,2]]]//Timing

Tally[(lcf=ReadProperty["LCFNotations",GraphNameToFileName[{"Antiprism",8},".m.gz"]])[[All,2]]]//Timing

LCFGraph@@@lcf//StyleGraphs

gs=Flatten[{
(* all LCF's with order >1, sorted by order and with bilateral graphs first *)
Join[DeleteCases[#,{_Missing,_}][[All,1]],Cases[#,{_Missing,_}][[All,2]]]&/@Map[{BilateralLCFEmbedding[#],#}&,Map[LCFGraph@@#&,SplitBy[DeleteCases[lcf,{_,1}],Last],{2}],{2}],
(* order-1 bilateral only *)
DeleteMissing[BilateralLCFEmbedding/@LCFGraph@@@Cases[lcf,{_,1}]]}]

Length[gs]

UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",8},"UnitDistance"]

UnitDistanceGraphQ[GraphData[{"Antiprism",8}],Debug->True]//Timing

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","UnitDistance"]//StyleGraphs

UnitDistance by refinement

UnitDistanceEmbeddingRefine[Graph[GraphData[{"Antiprism",8},"VertexList"],GraphData[{"Antiprism",8},"EdgeList"]]]

UnitDistanceEmbeddingRefine[Annotate[#,VertexCoordinates->N[GraphEmbedding[#]]]]&/@Complement@@(GraphData[{"Antiprism",8},"Graph",#]&/@{"All","UnitDistance"})

gs=LabelGraph/@{RotateGraph[,{10,14}],RotateGraph[,{14,10}],RotateGraph[,{7,2}],RotateGraph[,{11,15}],RotateGraph[,{11,15}]}

UnitDistance by FindUnitDistanceEmbedding

FindUnitDistanceEmbedding[GraphData[{"Antiprism",8}],MaxIterations->5000,"ReturnWithMessage"->True]//Timing

Matchstick

GraphData[{"Antiprism",8},"Matchstick"]

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph","Matchstick"]//StyleGraphs

3D default

Graph3D[GraphData[{"Antiprism",8},"Edges"]]

3D All

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph",{"3D","All"}]

3D UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph",{"3D","UnitDistance"}]

3D Polyhedron

GraphData[{"Antiprism",8},"Polyhedral"]

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph",{"3D","Polyhedron"}]

Graphics3D[{FaceForm[Green,Red],GraphData[{"Antiprism",8},"Polyhedron"]}]

3D Canonical

GraphData[{"Antiprism",8},"Graph",{"3D","Canonical"}]

Graphics3D[{Opacity[.5],Red,GraphData[{"Antiprism",8},"Polyhedron","Canonical"],Yellow,Sphere[]}]

{"Antiprism", 9}

Names

GraphData[{"Antiprism",9},"StandardName"]

GraphData[{"Antiprism",9},"StandardNames"]

Primary

GraphData[{"Antiprism",9}]//StyleGraphs[#,ImageSize->Small]&

Read and Wilson construction

All

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","All"]//StyleGraphs

Inexact

Select[GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","All"],(!FreeQ[GraphEmbedding[#],_?InexactNumberQ]&)]//StyleGraphs

Embedding types

GraphDataEmbeddings[GraphData[{"Antiprism",9},"EdgeList"]]

Default embedding

GraphPlot@GraphData[{"Antiprism",9},"Edges"]

v={};
g=Graph[Range[Length[v]],UndirectedEdge@@@{},VertexCoordinates->v,VertexLabels->Automatic]

RecognizeGraph[g]

Degenerate

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Degenerate"]//StyleGraphs

DegenerateGraphEmbeddingTypes/@GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Degenerate"]

Bilateral

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Bilateral"]//StyleGraphs

Circular

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Circular"]//StyleGraphs

Planar

GraphData[{"Antiprism",9},"Planar"]

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Planar"]//StyleGraphs

MinimalCrossing

GraphData[{"Antiprism",9},{"RCN","CN"}]

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","MinimalCrossing"]//StyleGraphs

Circulant

GraphData[{"Antiprism",9},"Circulant"]

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Circulant"]//StyleGraphs

Line graph

GraphData[{"Antiprism",9},"Line"]

LineGraphQ[GraphData[{"Antiprism",9}]]//Timing

RootGraph

Select[GraphData[All],GraphData[#,"LineGraph","Name"]=== {"Antiprism",9}&]

RootGraph[GraphData[{"Antiprism",9}]]

Halin

GraphData[{"Antiprism",9},"Halin"]

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Halin"]//StyleGraphs

Rigid

GraphData[{"Antiprism",9},"Rigid"]

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Rigid"]//StyleGraphs

Flexible

GraphData[{"Antiprism",9},"Flexible"]

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Flexible"]//StyleGraphs

LCF

GraphData[{"Antiprism",9},"LCF"]

GraphData[{"Antiprism",9},"HamiltonianCycleCount"]

GraphData[{"Antiprism",9},"LCFSignature"]

GraphData[{"Antiprism",9},"LCFNotations"]

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","LCF"]//StyleGraphs

Tally[LCFNotation[#][[2]]&/@%]

LCF compute all

Length[FindHamiltonianCycle[GraphData[{"Antiprism",9}],All][[All,All,1]]]//Timing

Tally[(lcf=LCF[GraphData[{"Antiprism",9}],All])[[All,2]]]//Timing

DeleteCases[lcf,{_,1}]

LCFGraph@@@DeleteCases[lcf,{_,1}]//StyleGraphs

(gs=Flatten[{
(* all LCF's with order >1, sorted by order and with bilateral graphs first *)
Join[DeleteCases[#,{_Missing,_}][[All,1]],Cases[#,{_Missing,_}][[All,2]]]&/@Map[{BilateralLCFGraph@#,#}&,Map[LCFGraph@@#&,SplitBy[DeleteCases[lcf,{_,1}],Last],{2}],{2}],
(* order-1 bilateral only *)
DeleteMissing[BilateralLCFGraph@@@Cases[lcf,{_,1}]]}])//Timing

Length[gs]

UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",9},"UnitDistance"]

UnitDistanceGraphQ[GraphData[{"Antiprism",9}],Debug->True]//Timing

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","UnitDistance"]//StyleGraphs

Select[%,!FreeQ[GraphEmbedding[#],_?InexactNumberQ]&]

UnitDistance by refinement

UnitDistanceGraphEmbeddingQ[%]

UnitDistanceEmbeddingRefine[Annotate[#,VertexCoordinates->N[GraphEmbedding[#]]],MaxIterations->500]&/@Complement@@(GraphData[{"Antiprism",9},"Graph",#]&/@{"All","UnitDistance"})

g=CenterGraph@RotateGraph[RotateGraph[LabelGraph@,{8,12}],Pi/2]

RecognizeGraph@g

UnitDistanceGraphEmbeddingQ@g

UnitDistance by FindUnitDistanceEmbedding

FindUnitDistanceEmbedding[GraphData[{"Antiprism",9}],MaxIterations->5000,"ReturnWithMessage"->True]//Timing

Matchstick

GraphData[{"Antiprism",9},"Matchstick"]

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph","Matchstick"]//StyleGraphs

3D default

Graph3D[GraphData[{"Antiprism",9},"Edges"]]

3D All

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph",{"3D","All"}]

3D UnitDistance

GraphData[{"Antiprism",9},"Graph",{"3D","UnitDistance"}]

3D Polyhedron

GraphData[{"Antiprism",9},"Polyhedral"]

Checks

DeleteCases[Monitor[{g=#,GraphData[#,"Antiprism"],AntiprismGraphQ[GraphData[#]]}&/@GraphData[All],g],{_,x_,x_}]//Timing

GraphData

file=OpenWrite["~/antiprism.m"]

Do[WriteString[file,GraphDataString[AntiprismGraph[n],
"StandardName"->{"Antiprism",n},
"Name"->ToString[n]<>"\[Hyphen]antiprismn graph",
"Classes"->{"Antiprism"},
"Information"->"AntiprismGraph",
"NotationRules"->{"Antiprism"->n},
TimeConstraint->10,
Debug->True]],{n,21,25}]

Close[file]