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Painlevé Transcendents

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There are six Painlevé transcendents, corresponding to second-order ordinary differential equations whose only movable singularities are ordinary poles and which cannot be integrated in terms of other known functions or transcendents.

y^('')=6y^2+x
(1)
y^('')=2y^3+xy+alpha
(2)
y^('')=(y^('2))/y-(y^')/x+(alphay^2+beta)/x+gammay^3+delta/y
(3)
y^('')=(y^('2))/(2y)+3/2y^3+4xy^2+2(x^2-alpha)y+beta/y
(4)
y^('')=(1/(2y)+1/(y-1))y^('2)-(y^')/x+((y-1)^2)/(x^2)(alphay+beta/y)+(gammay)/x+(deltay(y+1))/(y-1)
(5)
y^('')=1/2(1/y+1/(y-1)+1/(y-x))y^('2)-(1/x+1/(x-1)+1/(y-x))y^'+(y(y-1)(y-x))/(x^2(x-1)^2)[alpha+(betax)/(y^2)+(gamma(x-1))/((y-1)^2)+(deltax(x-1))/((y-x)^2)]
(6)

(Painlevé 1906; Ince 1956, p. 345; Zwillinger 1997, pp. 125-126).

All Painlevé transcendents have first integrals for special values of their parameters except equation (2). Five of the transcendents were found by Painlevé and his students; the sixth transcendent was found by Fuchs (1905, 1907; Hille 1997, p. 440) and contains the other five as limiting cases (Garnier 1916ab; Ince 1956, p. 345).

The sixth Painlevé transcendent is one of the most important nonlinear differential equations for defining new transcendental functions.

See also

Painlevé Property, Transcendental Function

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References

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Painlevé Transcendents

Cite this as:

Weisstein, Eric W. "Painlevé Transcendents." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/PainleveTranscendents.html

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