(Painlevé 1906; Ince 1956, p. 345; Zwillinger 1997, pp. 125-126).
All Painlevé transcendents have first integrals for special values of their parameters except equation (2). Five of the transcendents were found by Painlevé and his students; the sixth transcendent was found by Fuchs (1905, 1907; Hille 1997, p. 440) and contains the other five as limiting cases (Garnier 1916ab; Ince 1956, p. 345).
The sixth Painlevé transcendent is one of the most important nonlinear differential equations for defining new transcendental functions.
Chazy, J. "Sur les équations différentielles dont l'intégrale générale possede un coupure essentielle mobile."
C. R. Acad. Sci. (Paris)150, 456-458, 1910.Chazy, J.
"Sur les équations différentielles de troisième ordre et
d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points
critiques fixés." Acta Math.33, 317-385, 1911.Fuchs,
R. "Sur quelques équations différentielles linéaires du
second ordre." C. R. Acad. Sci. Paris141, 555-558, 1905.Fuchs,
R. "Über lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei
im Endlichen gelegene wesentlich singuläre Stellen." Math. Ann.63,
301-321, 1907.Gambier, B. "Sur les équations différentielles
du second ordre et du premier degré dont l'intégrale générale
est à points critique fixés." Acta. Math.33, 1-55,
1910.Garnier, R. "Sur des équations différentielles
du troisième ordre dont l'intégrale est uniform et sur une classe d'équations
nouvelles d'ordre supérieur dont l'intégrale générale
a ses point critiques fixés." Ann. Sci. de l'ENS29, 1-126,
1912.Garnier, R. "Étude de l'intégrale générale
de l'équation (VI) de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularités
transcendantes." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris162, 939-942,
1916a.Garnier, R. "Étude de l'intégrale générale
de l'équation (VI) de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularités
transcendantes." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris163, 8-10, 1916b.Garnier,
R. "Étude de l'intégrale générale de l'équation
(VI) de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularités transcendantes."
Comptes Rendus Acad. Sci. Paris163, 118, 1916c.Garnier,
R. "Etudes de l'intégrale générale de l'équation
VI de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularité transcendentes."
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.34, 239-353, 1917.Garnier,
R. "Sur une classe de systèmes differentiels abéliens deduits
de la théorie des équations linéaires." Rend. Circ.
Mat. Palermo43, 155-191, 1918-19.Hille, E. Ordinary
Differential Equations in the Complex Domain. New York: Dover, 1997.Ince,
E. L. "The Painlevé Transcendents" and "The First Painlevé
Transcendent: Freedom from Movable Branch Points." §14.4 and 14.41 in Ordinary
Differential Equations. New York: Dover, pp. 345-347, 1956.Painlevé,
P. "Memoire sur les équations différentielles dont l'intégrale
générale est uniforme." Bull. Soc. Math. Phys. France28,
201-261, 1900.Painlevé, P. "Démonstration de l'irréducibilité
absolue de l'équation ." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris
641-647, 1902a.Painlevé, P. "Sur les équations différentielles
du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale
est uniforme." Acta Math.21, 1-85, 1902b.Painlevé,
P. "Sur les transcendantes uniformed définies par l'équation ." Comptes Rendus
Acad. Sci. Paris135, 757-761, 1902c.Painlevé, P.
"Sur l'irréducibilité de l'équation: ." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris135,
1020-1025, 1902d.Painlevé, P. "Sur l'irréducibilité
des transcendantes uniformes définie par les équations différentielles
du second ordre." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris135, 411-415,
1902e.Painlevé, P. "Sur les équations différentielles
du second ordre à points critiques fixes." Comptes Rendus Acad. Sci.
Paris143, 1111-1117, 1906.Schlesiner, L. "Über
eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischer Punkten."
J. für Math.141, 96-145, 1912.Zwillinger, D. (Ed.).
CRC
Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 414,
1995.Zwillinger, D. Handbook
of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 125-126,
1997.
![y^('')=1/2(1/y+1/(y-1)+1/(y-x))y^('2)-(1/x+1/(x-1)+1/(y-x))y^'+(y(y-1)(y-x))/(x^2(x-1)^2)[alpha+(betax)/(y^2)+(gamma(x-1))/((y-1)^2)+(deltax(x-1))/((y-x)^2)]](/images/equations/PainleveTranscendents/Inline6.svg)
." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris
641-647, 1902a.Painlevé, P. "Sur les équations différentielles
du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale
est uniforme." Acta Math. 21, 1-85, 1902b.Painlevé,
P. "Sur les transcendantes uniformed définies par l'équation 
." Comptes Rendus
Acad. Sci. Paris 135, 757-761, 1902c.Painlevé, P.
"Sur l'irréducibilité de l'équation: 
." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 135,
1020-1025, 1902d.Painlevé, P. "Sur l'irréducibilité
des transcendantes uniformes définie par les équations différentielles
du second ordre." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 135, 411-415,
1902e.Painlevé, P. "Sur les équations différentielles
du second ordre à points critiques fixes." Comptes Rendus Acad. Sci.
Paris 143, 1111-1117, 1906.Schlesiner, L. "Über
eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischer Punkten."
J. für Math. 141, 96-145, 1912.Zwillinger, D. (Ed.).