Point-Plane Distance

Author

Eric W. Weisstein
July 25, 2012

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/SolidGeometry/Point-PlaneDistance.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/Point-PlaneDistance.html.

©2012 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Normal Form

(soln=Minimize[{(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2,a x+b y+c z+d==0},{x,y,z},Reals])//Timing

Solve[{{1/a,1/b,1/c}.{x,y,z}==1,x==t/a+X,y==t/b+Y,z==t/c+Z},{x,y,z,t}]//Factor

Distance from Plane Specified by points ((Subscript[x, i]), (Subscript[y, i]), (Subscript[z, i])) to ((Subscript[x, 0]), (Subscript[y, 0]),(Subscript[z, 0]))

PointPlaneDistance[Point[x0_],Polygon[x_]]:=Normalize[Cross[x[[2]]-x[[1]],x[[3]]-x[[1]]]].(x[[1]]-x0)

PointPlaneDistance[Point[{(Subscript[x, 01]),(Subscript[x, 02]),(Subscript[x, 03])}],Polygon[{{(Subscript[x, 11]),(Subscript[x, 12]),(Subscript[x, 13])},{(Subscript[x, 21]),(Subscript[x, 22]),(Subscript[x, 23])},{(Subscript[x, 31]),(Subscript[x, 32]),(Subscript[x, 33])}}]]

(Subscript[x, 0])={(Subscript[x, 01]),(Subscript[x, 02]),(Subscript[x, 03])};
(Subscript[x, 1])={(Subscript[x, 11]),(Subscript[x, 12]),(Subscript[x, 13])};
(Subscript[x, 2])={(Subscript[x, 21]),(Subscript[x, 22]),(Subscript[x, 23])};
(Subscript[x, 3])={(Subscript[x, 31]),(Subscript[x, 32]),(Subscript[x, 33])};

n=Simplify[Cross[(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 1])]/Sqrt[Cross[(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 1])].Cross[(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 1])]]]

d1=FullSimplify[n.((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 0]))]

d2=FullSimplify[n.((Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 0]))]

d3=FullSimplify[n.((Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 0]))]

d1-d2

d1-d3

d2-d3

Expand//@d1

FullSimplify[%]